DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. 47 



La démonstration do M. Liouville peut encore être présentée sous 

 d'autres formes. 



Soient m et n deux nombres premiers impairs, a et h leurs racines pri- 

 mitives : à l'ordre des termes près, les deux suites 



^ , o , »l 1 



a, a-, ... a , et a", *"", a" , ... « 



seront identiques, et par suite, x étant quelconque, on aura 



X'" — 1 t = m— I h = 11 



oîi p = -^^. Mais on a aussi «'' + 1 ^ o (mod. m), et partant a'"^'' ;s — «'' 

 (mod. m), a"'^''=a-"'' : d'ailleurs, on peut remplacer a par a"^, et l'on a 



donc, en substituant, on trouvera 



(69) ~ = n. (y."-'' X — a-"'') (a-"'' X — a"''), 



d'où, faisant x-^= (i-^^ , on déduit 



jQm?/' (3 — »i?^^ h ^= p 



-_ = n. ( ;:"'■ p,!"^ — -,-"'• ^-'-M la - «'' B''" - -J."-'' 2-'''). 



[il/1' __ /3— /)'■ /i = I ' 



On obtiendra une formule semblable pour n, et comme en étendant 

 le signe n aux pq combinaisons des valeurs de h et k, il vient évidemment 



n(o^«''ûî'' — a'»''/3-''") = ( — t)'"'. n («(>'• /3-W— x^n^/S''*), 



on en conclura 



On tirera de cette équation la loi de réciprocité, si l'on démontre cette 

 autre formule 



lin\ '^ = 11 3ml''- — fl-«>('' 



