i8 SUR LA THÉORIE 



Or, il y aura un nombre entier i < n, tel que m ^ b' (mod. n), et cela 

 donnera fi'"'''' — /S-"''-' = /S'''"^' — [3"''''^^ Si l'exposant i -[- A; surpasse q , on 

 pourra le réduire à l'aide de la congruence 6' + 1 ^^ o (mod. n) , qui 

 fournit //'+''' Si — 6''', p-*"''' = ^''' (mod. h), d'où l'on voit que la puis- 

 sance b"^'' changera de signe lorsque i -\- le sera compris entre q et 2q , 

 et ne changera pas lorsque i -[- k sera compris entre 2q et o</. Mainte- 

 nant, si i < </, la suite » + 1, ? + 2, ... / + 7, renfermera les termes 

 i + q, î + 7 — 1 , i + 7 — 2 , ••• « + 7 — (i — 1 ) , dont le nombre est 

 i et qui seront compris entre 7 et 27; si i > 7, les termes de la même 

 suite compris entre 7 et 2q seront i + 1 , i -{- 2 , ... i -\- {"^q — -/), dont 

 le nombre est 27 — i. Il s'ensuit qu'en remplaçant M par mb'' , le produit 

 U{(3'''' — 13-'''') ne change pas de valeur absolue, mais un certain nombre 

 de ses facteurs change de signe , et ce nombre est i lorsque /' < 7, 27 — i 

 lorsque / > 7. On aura donc, dans tous les cas, 



n(/3'"!'' — /3 -'"'''■) = (—1)'. n(/3''' — /S-t'), 

 et comme d'ailleurs -] = ( — 1)', on en conclura la formule (71). 



On peut aussi reniaïquer, que 



b'+\ «;'+-. 6'+' .... b'+'' = b"' X b. b'K b' ... b'', b"' = (—1)' (mod. »/), 



et qu'ainsi le nombre des puissances qui changent de signe est pair ou 

 impair comme l'exposant i. 



Faisant «=1 dans l'équation (G9), on obtient 



i,=P 



m = (—i)". n (a"'* — a-«'')2, 



h = I 



et en élevant les deux membres à la puissance q, et supprimant, à la ma- 

 nière de M. Liouville, les multiples de n, on en tire 



.al* ri — a'' 



m 



On aura une expression semblable de (- , et ces deux formules com- 

 parées avec (70), ou bien la deuxième comparée avec (71), donneront la 

 loi de réciprocité. 



