DES RESIDUS QUADRATIQUES. 49 



XIII. 



Si, dans l'équation (65). on fait a = e"' ', /3 ^ e~^ , en désignant 

 par a un nombre premier à m, et par b un nombre premier à n, il viendra 



2flïlft,T 



['''1 ■ ■ ■ ■ — - = 2-'. ( — I)'. IL, sin. sin. 



sin °" ' "*" »"" 



m 



Or, en général, sin. 2t:x est positif, si x surpasse un nombre entier 

 d'une quantité inférieure ou égale à l-, négatif si, au contraire, il y a un 

 nombre entier qui surpasse x d'une quantité inférieure à 4- Au moyen 

 de cette remarque, on déduira de la formule (73) le théorème d'arith- 

 métique suivant : 



Soient m, n, a, b des nombres entiers positifs; m et m impairs et pre- 

 miers entre eux, a premier h m, b premier à n; soit h un nombre déter- 

 miné quelconque, et k un nombre indéterminé, qui prenne successive- 

 ment les valeurs 1, 2, 5, ...^^- Divisez par mn toutes les valeurs que 

 prendront les quantités ctnli -j- bmk, anh — bmk, en déterminant les quo- 

 tients de manière que chaque reste soit mimcriqiiement inférieur à \ inii, et 

 soit X le nombre total des restes négnlifs. Divisez aussi ah et anh par m, en 

 prenant les restes numériquement inférieurs h ~ m; enfin soit q = '-^^ 

 Cela posé, le nombre q -{-l sera pair, si les restes de ah et anli sont de 

 même signe, impair s'ils sont de signes contraires. 



Ce théorème pouvant conduire à la loi de réciprocité, nous allons en 

 chercher une démonstration directe, en supposant, pour plus de simplicité, 

 = 1, b = l et h l'un des termes de la suite 1, 2, 5, ... /», p étant = '^—■ 



Plaisons 



mn — 1 



r = , ii = nh — mk, v=^nh -\- mk — r: 



2 



M et V, abstraction faite du signe, seront < ~mn. Ayant divisé nh par m, 

 soit i le quotient, h' le reste positif : nous aurons nh=mi-\- h', h <^ ^, 

 et par suite mi < nh < n^ , d'où i < ^; donc mk sera plus petit que nh 

 Tome XXV. ' " 7 



