50 SUR LA THEORIE 



pour toutes les valeurs /;:= 1, 2, 5, .,. i, mais pour ces seules valeurs, 

 de sorte que u aura i valeurs positives. J'observe que les nombres k' et ti ne 

 peuvent être nuls, car nli, étant inférieur à | ma, ne peut être multiple en 

 même temps de m et de n. Mais nous aurons aussi nh-{-ml; = ))t{i-\- k) -]- li'. 

 r=mq-\-p, et, par conséquent, nli-'rink > r pour toutes les valeurs 



h^q — 1-4-1, q — «'-t-2, q — (-t-3, ... <?— I , q, 



et aussi pour l'autre valeur /c = 7 — i, dans le cas de /;' > p : en effet q — ( 

 ne pourra pas être nul dans ce cas, puisque si q = i, il s'ensuivrait 

 mi + II' > »"/ + p, ou nli > r , tandis que ?■ est égal à np -{- q , et que h 

 ne surpasse pas p. Ainsi le nombre v aura i valeurs positives si li' < '^, 

 et en aura i + 1 , si /;' > ^- Donc le nombre des valeurs positives de v 

 égale celui des valeurs positives de u, lorsque le reste /;' est inférieur à 



I m, et le surpasse d'une unité dans le cas contraire : de là résulte le 

 théorème ci-dessus énoncé. 



Maintenant soit f le nombre total des valeurs positives de u, et y le 

 nombre total des valeurs positives de v, en supposant qu'on attribue suc- 

 cessivement à h toutes les valeurs i , 2, 5, ... p, à A; toutes les valeurs 

 1, 2, 5, ... q; soit H| le nombre des restes supérieurs à ~ m provenant de 

 la division des multiples nli par m : on aura évidemment g — /'= h,. 



Par les mêmes raisons, si /' désigne le nombre total des valeurs posi- 

 tives de la quantité n' = ml,- — -nli, et »«, le nombre des restes supérieurs 

 à ^ n provenant de la division des multiples mk par u , on aura g — f =î;i,. 



II en résulte 2j/ — f—f = m, -f n^, et par suite ( — 1/+/" = ( — 1)'»'+'". 

 Mais les valeurs positives de u' sont les négatives de ?/, car ti' = — u, et 

 par conséquent, f -\- f est le nombre total des valeurs de u, c'est-à-dire 

 pq : donc (— 1 )"'■+"■ = (— ly^. 



Enfin, si m. et n sont deux nombres premiers, on aura, d'après un 

 lemme de M. Gauss, 



(")-<-'»■■■■ Ë)=''""^ 



d'où l'on conclut la loi de réciprocité 



-) (-)=(-ir 



ni \ml 



