DES RESIDUS QUADRATIQUES. al 



J'ignore si cette démonstration élémentaire et très-simple, et sa liaison 

 avec celle de M. Liouville, aient déjà été signalées. 



Le lemme de M. Gauss, que je viens de rappelei-, peut être généralisé 

 ainsi qu'il suit. 



Soient m et n deux entiers premiers entre eux; 1 le nombre des entiers 

 inférieurs à ^ n et premiers à h : représentons ces entiers par />, b.;, ... b^, 

 et divisons par n les multiples 6,m, bç^ui, ... b^m, de manière à avoir des 

 restes positifs ou négatifs, mais numériquement inférieurs à .} »i. Si m, 

 désigne le nombre des restes négatifs, m^ — ( — 1)"" sera divisible par n. 



Nommons, en effet, /t, , h.,, ... Ii^ les quotients, et /.,, L, ... k^ les restes 

 de ces divisions : on aura 



ce qui montre que les restes k^, k,, ... k^ seront tous premiers à », car 

 k,, par exemple, ne pourrait avoir de commun avec u un facteur pre- 

 mier, qui ne divisât aussi /*, ou m, en vertu de l'équation bim= liin-\- ki. 

 Mais, de plus, ces restes seront tous numériquement inégaux, car si l'on 

 eût ki = ± k^, , les équations b,m = hfi + /.:■ , //,,m = /«,,?« + k^, , donneraient 

 (jf). q= bi,)m = (/(, q= hi,) n, et n, étant premier à m, devrait être diviseur du 

 nombre b^ ^: b,,, tandis que t, et 6,, sont < ~ », et par suite />, q= 6,, est 

 numériquement inférieur à n. Donc la suite /.:,, L, ... k^ sera composée 

 des mêmes termes, abstraction faite de leurs signes et de leur ordre, 

 que l'autre suite b^, b.,, ... b^, et l'on en déduira /.:, k, ... A'^ = ( — 1)"". 

 b^ à, ... b^. Or, en multipliant, membres à membres, les ), équations 

 précédentes, et supprimant les multiples de », on obtiendra 



b,b, ...by.m>-=EkJi, ...ky [moi. il) : donc 6,6, ... bx[m>^ — {—i)"''] = o (inod. n). 



c'est-à-dire que » sera diviseur de m' — (— 1)"", puisque le facteur 6,, 

 bç,, ... b^ est premier à ». 



Lorsque n est premier, la suite b,, 6.,, ... b^ est celle des nombres na- 



ii-i 



turels 1, 2, 5, ••.'^, on a ^ = \-; donc alors, m ' — ( — l)"" est di- 

 visible par », d'oîi f-j =( — 1)"" 



