52 SUR LA THEORIE 



Dans tous les cas, m-^ — 1 sera divisible par n, car il esl le produit 

 des deux nombres m^ -f 1 , iii^ — 1 : théorème d'Euler. 



On peut remplacer le lemme de M. Gauss par d'autres propositions 

 analogues. Au lieu de multiplier m par les entiers inférieurs à in, on peut 

 le multiplier par les entiers paiis inférieurs à n, ou par les entiers impairs 

 inférieurs également à n, et diviser les produits par n, en prenant les 

 l'estes positifs : dans le premier cas, le nombre des restes impaii-s, et celui 

 des restes pairs dans le second, détermineront la valeur de 1 



On peut aussi choisir pour multiplicateurs les puissances 



n-l 



g, f, g^, ... g- 



d'une racine primitive (j de n : la valeur de - sera déterminée par le 

 nombre des produits congrus aux autres puissances 



n— 1 



g - , g - , g •' , ■■■ g 



XIV. 



Je terminerai en déduisant de la formule (4) une transformation re- 

 marquable, qui se présente dans la théorie des fonctions elliptiques et 

 ultra-elliptiques. 



Prenons n ^ ce , et y (j) ^ e""*""" cos. ^anx, I: désignant une quantité 

 réelle positive, ou une quantité imaginaire dont la partie réelle soit po- 

 sitive : la formule (i) deviendra 



00 co 



i -(- 2 _ c cos.'iazx = I e rf^; cos. 2aiT-z -4- 2 2 . _ le rfz cos. Sas-i cos. 2i>5. 



o 



A présent il suffirait de substituer dans le second membre les valeurs 

 connues des intégrales définies qu'il renferme: mais ces valeurs peuvent 

 être déterminées au moyen de la même équation. Soit 



e "' dx = p : faisant x- = h:", on en tire / e dz = — |, 



o o 



et différentiant plusieurs fois de suite par rapport à h, on obtient pour 



