

54 SUR LA THÉORIE DES RÉSIDLS QUADRATIQUES. 



Avec cette valeur de />, et faisant k = )Ti, il viendra 



x=z 00 , ( a°7r i- 



(74) . I -+- E e"^'^'''' COS. 2«.tj: =-7^ p ^ U + 2 



car 



e ^- " ■+- e ' ^ = e ~ . e~~^ \ e~^ ■+■ e ^ 



On trouve d'autres démonstrations de cette formule dans le mémoire 

 couronné de M. Rosenhain, sur les intégrales ultra-elliptiques [Mém. de 

 rhistitut, savants étvamjers, tom. XI, pp. 595, o9G). 



Si l'on suppose 



T 



u^o, zr = ^2, - = ff- , on aura a;3 = 7T, 

 r 



et la formule (74) donnera ce théorème de M. Cauchy, 

 En même temps nous avons démontré les formules 



l.ô..'> ... (<lm—\ 



p o 



/ e^'""' ilz COS. rz = i e " \ / 



k 



Au surplus, la formule (4) peut conduire, d'une manière également 

 simple, à d'autres transformations semblables d'une série (rigonométri- 

 que en une série d'exponentielles. 



FIN. 



