10 DES POLYEDRES SUPEHPOSABLES A LEUR IMAGE. 



THÉORÈME L 



Le centre de gravité d'un polyèdre a pour symétrique le centre de gravité 

 du polyèdre symétrique. 



Prenons pour origine le cenire de symétrie. Si xyz est un point tlu sys- 

 tème '£ rapporté à Irois axes coordonnés quelconques, xyz sera le point 

 correspondant du système 'i''; or, si le système ;i' est formé de n points, son 

 cenire de gravité a pour coordonnées 



^, ^, ^. 



n n n 



le point symétrique de ce centre de gravité aura pour coordonnées 



_ ^, _ ^, _ ^ 



n n n 



et coïncidera, par conséquent, avec le cenire de gravité de SE', point qui est 



déterminé par les coordonnées 



l{--x) l(-y) I(-z) 

 n n n 



Corollaire l. — Le symétrique d'un polyèdre, pris par rapport à son 

 centre de gravité, a même centre de gravité que le polyèdre lui-même. 



Corollaire 11. — 5/ un polyèdre non centré est superposable à son 

 symétrique, en construisant ce dernier par rapport au centre de gravité 

 du polyèdre, la superposition pourra être obtenue par une simple rota- 

 tion, qui s'e/fectuera nécessairement autour d'un axe passant par le cenire 

 de gravité commun du polyèdre et de son symétrique. 



En effet : soient .'jf le polyèdre, if' son image, G et G' leurs centres de 

 gravité. Pendant la rotation qui amène a^ sur iS' , G' est fixe; G, qui coïn- 

 cide avec G' dans sa position initiale, vient encore se superposer à G' dans 

 sa position finale, au moment où la restitution inverse est obtenue; comme G 

 décrit une circonférence autour de Taxe de rotation, il s'ensuit que : ou 

 bien cet axe de rotation passe par G', ou bien la rotation effectuée est d'une 

 circonférence entière. Dans le premier cas, on conclut (|ue l'axe de symétrie 

 inverse passe par le cenire de gravité du polyèdre; dans le dernier cas, i£ est 



