12 DES POLYÈDRES SLTERPOSABLES A LEUR lî^IAGE. 



quement en IV un sommet de 'l'. On voit aisément que « = ^ et que, par 

 conséqueni, une rotation ^ autour de L amène un sommet quelconque A' 

 de l'image en un sommet B' du même polyèdre. Il suit de là que L, dans 

 l'image, est un axe dont l'ordre est n ou un de ses multiples. Mais il est 

 facile de voir que cet ordre doit être précisémenl n. En effet : si, dans s', 

 L était, par exemple, de l'ordre 2«, d'après ce qui précède, dans le 

 polyèdre fj?, symétrique de <£', L serait au moins de l'ordre %i, ce qui est 

 contraire à l'hypothèse. 



Corollaire. — Tout A" d'un polyèdre est aussi un axe de r ensemble 

 formé par le polyèdre el son image, mais, dans cet ensemble, il est 

 d'ordre kn(k > 1). 



THÉORÈME III. 



Toute rotation (jui amène un polyèdre non centré i£ sur ^S' supposé fixe, 

 amène simultanément s' supposé mobile sur la position initiale de s. Pour 

 que S soit superposable à 'f, il faut que l'ensemble t^S' représente un des 

 systèmes qui peuvent occuper dans l'espace plusieurs positions identiques 

 en apparence. L'axe inverse de ,a% s'il est multiple, nécessairement d'ordre 

 pair 2n, doit être un axe direct des systèmes S et Si£' ; dans S, son ordre 

 est n; dans SS', il est d'ordre 2kn, k étant un entier. Lorsque l'axe inverse 

 est un axe binaire, dans i£ il n'est plus un axe de symétrie, mais, perpendicu- 

 lairement à cet axe, il existe, dans ce dernier polyèdre, un plan de symétrie. 



Soit (fig. 2) L l'axe en tournant autour duquel 3? peut venir se super- 

 poser à 2?', G le centre de gravité, w la plus petite rotation qui amène la 

 restitution inverse autour de L, A' un sommet quelconque de '£'. En joi- 

 gnant GA' et prenant GA = GA', nous aurons en A un sommet de 'p, qui, 

 par la rotation w, vient en B', sommet de .'î''; le point P., symétrique de B', 

 représente donc un sommet de •£ dans sa position initiale, il suit de là que, 

 si Ton suppose .X' mobile, la rotation w qui amène S sur la position initiale 

 de a?', amène en même temps un sommet quelconque A' de ce dernier 

 polyèdre sur un sommet B de la position initiale de 3?. C'est ce qu'il fallait 

 démontrer en premier lieu. 



