H DES POLYÈDRES SUPERPOSABLES A LEUR IMAGE. 



inverse, cVsl-ù-diro si oj < 180°, L esl aussi un axe direcl du polyèdre S. 

 En eiïel : la rotation w amène B en D', dont le symétrique D est un sommet 

 de s dans sa position initiale; une rotation %> autour de L amène donc un 

 sommet quelconque A de '.x' sur un sommet du même polyèdre (dilTorent du 

 premier, vu que 2co < 360"); donc L est aussi un axe direct de S, qui est 

 aussi assujetti à présenter une des sept combinaisons axiales possibles. 



Pour déterminer Tordre (*) de l'axe L dans 'I, il faut chercher la plus 

 petite rotation qui amène la restitution directe; or, il est facile de voir que 

 cette rotation est 2w. En effet : supposons S mobile, C£' fixe; si, pendant la 

 rotation %> qui amène le sommet A en D, on rencontrait une position £Ei 

 identique en apparence à S, si celle position est intermédiaire entre y? et S', 

 on pourrait, en continuant la rotation, amener Si, c'esl-à-dire en définitive 

 le polyèdie pris dans sa position initiale, sur so7i symétrique S', par une 

 rotation plus petite que w, ce qui esl contraire à l'hypothèse; on arriverait 

 au même résultat, par une rotation effectuée en sens inverse, si 2^1 se 

 trouvait au delà de a?'. Si n esl Tordre de Taxe direcl L dans s, on a : 

 2«=^(**), et, par conséquent, w=^; de sorte qu'un A_2„ d'un polyèdre 

 esl, en même temps, un A" du même polyèdre, el pourra être noté : 



Quant à Tordre de Taxe L dans Tensemble 'i'î', il esl d'abord évident 

 qu'il est au vwi7is égal à 2/i, vu que la rotation « = ^ y amène la restitu- 

 tion directe; mais, il est facile de s'assurer que cet ordre peut être un 

 multiple de 2n : Que Ton place, en effet, entre A et B', un certain 

 nombre de sommets a (deux, par exemple,) appartenant à 'P, également 

 espacés, entrainant, entre A' et B, deux sommets a', appartenant à ^' el 

 distribués de la même façon; que Ton place aussi, entre B el D', deux 

 sommets b entraînant, entre B' et D, deux sommets //, el ainsi de suite. 

 Considérons le système des 24 points kaaWjh Mlih ainsi déterminé, 



(*) Loc. CIT., p !). 



(**) u étant un enlier. Voir : loc. cit., Ihéorèmes II et III. 



