46 DES POLYÈDRES SUPERPOSABLES A LEUR IMAGE. 



effectuées autour du même axe, amèneront aussi le polyèdre sur son image; 

 au contraire, les rotations 



2t 4t 6a- 

 — . — > — > elc, 

 n n n 



amèneront le polyèdre en coïncidence avec lui-même. 



Corollaire IH. — Un polyèdre et son image, qu'ils soient superposables 

 ou non superposables, possèdent les mêmes éléments de symétrie. 



En effet, le théorème II démontre la propriété pour les aves directs, le 

 théorème III pour les axes inverses. 



Observons que deux axes qui se correspondent dans un polyèdre et 

 dans son image, tout en étant de même ordre, peuvent être d'espèces 

 différentes. 



THÉORÈME IV. 



// 7ie peut exister que trois classes de polyèdres superposables à leur 

 image : 



i" Les polyèdres qui ont un centre ; 



2" Les polyèdres possédant des plans de symétrie; 



3° Les polyèdres qui, sans avoir de centre ni de plans de symétrie, 

 possèdent un axe de symétrie d'ordre 2n, normalement auquel les sections 

 également distantes du centre de gravité sont deux à deux égales et tournées 

 l'une par rapport à l'autre d'un angle ^. 



En effet : 



Si ff et '£' sont en coïncidence, c'est que le centre de gravité est un 

 centre du polyèdre. 



Si 'I est distinct de .t', le théorème III montre que l'axe inverse pouvant 

 amener la superposition des deux polyèdres est nécessairement d'ordre pair, 

 de sorte qu'il n'y a que deux cas possibles : ou Taxe inverse est de la 

 forme A_2,2„ + i), ou il est do la forme A_i„. 



Dans le premier cas, si o» est la plus petite rotation amenant la restitution 

 inverse, on a : 7r = (2» + i)co, de sorle que la demi-circonférence se trouvant 



