DES PROBABILITÉS EN PÉTROGRAPHIE. 53 



NOTE IV. 



Comme, lorsque m augmente, //,, (x, el fz-, décroissent en même temps 

 que «, la plus petite valeur de // + « correspondra à la plus petite valeur 

 de m, et l'enveloppe inférieure la plus basse sera celle qui correspond à m,, 

 c'est-à-dire ((ig. 15) QQ'. 



Quant à l'enveloppe supérieure la plus haute, il n'est pas possible de 

 l'indiquer o priori, car on ne sait si yn ■= (jl — » augmente ou diminue 

 lorsque m. augmente. Pour démontrer la propriété, il faudrait faire voir 

 que lorsque m augmente, un point quelconque n de l'enveloppe PP' descend. 

 Mais il sufllra de démontrer la propriété pour un point |)arliculier, p;ir 

 exemple pour le point minimum. En eiïet : il est d'ahord évident que deux 

 courbes d'égale caractéristique voisines n'ont pas de point commun et que 

 celle dont la caractéristique est la plus petite est tout entière située en des- 

 sous de l'autre : il en sera de même des courbes enveloppes, étant donné la 

 façon dont elles ont été construites. Si donc un point d'une certaine enve- 

 loppe est situé au-dessus du point homologue de l'enveloppe voisine, il en 

 sera de même pour la courbe tout entière. 



Pour le point minimum on a 



COS fti = . . 



sin 2V 



Posons 



(/ = ^5 — a = iircos -7—r— — arcos (km) 

 •' sin 2 V 



La dérivée première de cette fonction peut s'écrire 



A- A- 



.V = 



I 



Or, par hypothèse, sin' V > ^. et, n fortiori (*) sin 2V > ^; donc y' > 0, 

 et par conséquent y croit avec m. 



(*) On a sin 2V > 2 sin' V, si tg V < 2 ; or V < 45". 



