DES POLYÈDRES SUPERPOSABLES A LEUR IMAGE. 49 



le polyèdre peut occuper dans l'espace. Si donc R est le nombre des X_2 de 

 l'espèce considérée, on aura 



!<= R; donc, ele. 



Corollaire. — 5/ un polyèdre possède N axes composés d'ordre n iso- 

 polaires, de même espèce, P axes héléro polaires d'ordre p, de même espèce, 

 Q axes binaires inverses isopolaires de même espèce, et R axes binaires 

 inverses liéléropolaires, de même espèce, cesl-à-dire si son symbole de 

 symétrie est 



»(:)" "Cl- "(X; "( 



on a 



y = 2N« = Pp = 2Q = R (•). 



THÉORÈME VIL 



La combinaison de deux axes inverses, par la règle d'Euler (*'), donne 

 un axe direct; la combinaison d'un axe inverse et d'un axe direct donne un 

 axe inverse. 



En elïel : la rolation effectuée autour du premier axe inverse amène .'a' en '£'; 

 comme le second axe inverse, pris dans sa position initiale, est aussi un axe 

 inverse de 'j?', la seconde rotation amènera r' sur sou symélri(|ue, c'esl-à-dire 

 sur u^ pris dans sa position initiale. Donc, l'axe résultant est un axe direct 

 de if. 



La seconde partie du théorème se démontre de même. 



THÉORÈME VIH. 



Si un polyèdre ne possède qu'un axe inverse, cet axe est nécessairement 

 hétéropolaire. 



En effet : supposons, s'il est possible, que l'axe inverse soit isopolaire et 

 par conséquent formé par la jonction de deux l_.2„ de même espèce. 



(') Voir : l.oc. cit.. Tliéorème VIII, p. 13. 

 {**) Voir : Loc. cit., p. 23. 



