20 DES POLYEDRES SUPERPOSABLES A LEUR IMAGE. 



Pour amener un de ces ï_.^„ à la place de l'aulre, dans le moule que le 

 polyèdre détermine dans l'espace, nous retournons d'abord l'axe dont il 

 s'agit, bout à bout, puis nous ajustons le polyèdre, pour qu'il puisse être 

 introduit dans le moule, en le faisant tourner autour du A_o„. Le polyèdre 

 aura donc subi deux rotations : l'une, d'amplitude n, autour d'une normale 

 au A_o,„ l'autre, d'amplitude w, autour du A_o„ lui-même; or, ces deux rota- 

 tions équivalent (*) à une rotation unique, d'amplitude ;:, eflectuée autour 

 d'une droite L normale au A_2„ et faisant un angle ^ avec la droite qui a 

 servi au relournemenl; donc, le polyèdre possède en L un axe direct d'ordre 

 pair. Cet axe, combiné au A_o,„ donne, d'après le théorème VII, un nouvel 

 axe inverse. Le polyèdre posséderait donc plusieurs axes inverses, ce qui 

 est contraire à l'hypothèse. Donc, etc. 



ConoLLAiKE. — Si un polyèdre ne possède, comme élément inverse, qu'un 

 plan de symétrie, ce plan est nécessairement hétéropolaire. 



RECHERCHE DE TOUTES LES CLASSES POSSIBLES 

 DE POLYÈDRES SUPERPOSABLES A LEUR IMAGE. 



a) Polyèdre sans centre. 



Quel que soit le polyèdre non centré superposable à son image, il doit 

 nécessairement appartenir, en tenant compte seulement de ses éléments 

 inverses, à l'une des catégories suivantes : 



1" Polyèdres ne possédant (/u'iin A_.,; 



2" Polyèdres ne possédant (jue plusieurs A_.,; 



'S" Polyèdres ne possédant iju'un ou plusieurs A_o„(n > 1); 



/j." Polyèdres possédant à la fois des A_o et des A_on. 



4" Si le polyèdre ne possède qu'un A_.j, cet axe sera nécessairement 

 hétéropolaire (théorème VIII). En outre, le polyèdre ne peut posséder 

 d'axes directs, qui, nécessairement non dirigés suivant le A_ « (théorème V), 

 donneraient, par combinaison avec ce dernier, de nouveaux axes inverses 

 (théorème VII). 



Cl D'après la irglc dEuler. 



