32 DES POLYEDRES SUPERPOSABLES A LEUR IMAGE. 



b) Polyèdres centrés. 

 THÉOhÉiME IX. 



Tout polyèdre qui possède un A°_n est centré. Réciproquement, dans tout 

 polyèdre centré un axe direct d'ordre n est aussi un axe inverse du même 

 ordre. 



En elTel : vu qu'une rolalion — autour de Paxe considéré annène ^ en 

 coïncidence avec lui-même et avec '£', c'est que 1* coïncide avec $'; donc, 

 le centre de symétrie G el le contre du polyèdre, etc. 



THÉORÈME X. 



Dans tout polyèdre possédant un A'^H^,,, // existe, perpendiculairement à 

 cet axe, un plan de symétrie; perpendiculairement à un A'^,^n'^ , , il ne peut 

 exister de plan de symétrie. 



THÉORÈME XI. 



Si un polyèdre ne possède pas d'axe de symétrie directe, toute droite 

 tracée dans ce polyèdre est hétéropolaire. 



Ce théorème se démontre comme le théorème VIII : Soient L et L' les 

 exirémilés de la droile considérée. S'il élail possible d'amener L' on L, dans 

 le moule (|ue le polyèdre détermine dans Fespace, on y parviendrait par une 

 rotation de 180" autour d'une normale à LL', (pii échangerait L' avec L, 

 puis, par une rotation convenable autour de LL'. Ces deux rotations équi- 

 valent à une rotation unique, d'amplitude s, autour d'une droite normale 

 à LL', droite qui serait un axe de symétrie du polyèdre, ce qui est contraire 

 h l'hypothèse. Donc, etc. 



Di/fc?-entes catégories de polyèdres centrés. 



Ou bien le polyèdre possède le centre, mais pas d'axes directs; ou bien il 

 possède le centre et des axes directs. 



Dans le premier cas, il ne |)eut posséder non plus des axes inverses (théo- 

 rème IX); il ne peut venir en coïncidence avec son image que par une 



