SUPERI^OSABI.RS A LEUR FMAGE. 5 



rotalion autour d'un A_2„,, etc. II est d'ailleurs évident : i" qu'en opérant 

 ainsi, on obtient toutes les manières possibles (car s'il existait une autre 

 manière, dans celle-ci la rotation devant avoir lieu autour d'un axe différent 

 de ceux (pie l'on a considérés, on aiu-ail négligé un axe inverse); T que 

 toutes les manières obtenues sont différentes entre elles. Donc, on peut 

 amener ^ en '£' d'un certain nombre de manières représenté par N'»' + P'/^' 



+ QY + •••• 



Il suit de ce qui précède que 



Nn' + P>' M QV/' + ■•• = :' • (1) 



CoROLLAiiiE. — Le nombre total d'axes inverses d'un polyèdre égale 

 l'unité plus la somme des produits obtenus en m ulli pliant le nombre d'axes 

 siMPLEMKNT DIRECTS d'uu Certain ordre par cet ordre diminué d'une unité. 



Soit, en effet, 



1\A", PA', ..., lV\:',„., P'iV'.V, ... 



le symbole de symétrie d'un polyèdre. On a (*) 



^=1 + N(„_l) + P(,,_1)+ ... -+-N'(«'— 1)-+- P'(/''— 1^- ■ • ■ (2) 

 En comparant (I) el (2), on obtient 



M' + p' -t- Q' + ... = I -4- N(h — 1) + P(/) — 1) + Q(7 — I) -+- •■•• 



ce qui démontre la proposition. 



Celle relation remar(piable, (|ui se passe entre le nombre d'axes inverses 

 el le nombre d'axes simplement directs possédés par un polyèdre, peut aussi 

 s'énoncer : 



Le nombre total d'axes inverses d'un polijèdre égale le nombre de posi- 

 tions identiques en apparence que le polyèdre pourrait occuper dans l'espace, 

 s'il ne possédait que ses axes simplement directs. 



C) Des polyèdres qui peuvcnl occuper, etc. (Mkm. cour, et MfiJi. s,\v. icth., 1893, p. 14, 

 Ih. IX). 



