(i SI;R QUELULKS PROPHIÉTI'S DF.S POr.VKDRKS NON CENTRÉS 



THÉORÈME II. 



Dans un même ordre, un pofi/èdre ne peut posséder r/uvuE on deux 

 espèces d'axes inverses. 



Il ne peul exister deux espèces d'axes inverses du mémo ordre que si le 

 poli/èdre ne possède çh'un seul ordre d'axes inverses. 



En effet : Soil 2N' le nombre tolal de )%,. el A„, le nombre cVespèces 

 exislanl clans l'ordre considéré; on sait qu'il y aura — axes de chaque 

 espèce el que, en cuire (*), 



... '" 



L;i relation (3) combinée à (1) donne 

 2N'«' 



N'h' -4- Py + Qq' ■*■ 



ou bien 



/2 



i = P'// -t- Q',/' -t- 



Comme le second membre est positif on nul, on doit avoir /.„. < 2 et, par 

 conséquent, 



/, „, = I ou -2. 



La valeur /.„. = 2 n'est obtenue que si V = 0, Q' = 0, etc., c'est-à- 

 dire (pie s'il n'existe (|u'un seul ordre d'axes inverses (**). 



(*) Des polyèdres qui peuvent occuper, etc. (i-oc. cit., pp. i:^ et 14, tli. Vtll et corollaire). 

 La fli'nioiistnition du théorônio Vltl subsiste évidcuiuicut pour h = 1, c'est-iVdirc si, au 

 lieu (le cuiisidcrfr des axes de syniclrie, on cuvisagcail des ilireilions quelconques de même 

 espèce; le ttiéorème peut donc être appli(|ué au cas des axes binaires inverses, qui repré- 

 sentent dans le polyèdre des axes directs d'ordre 1. les axes de même espùce représentant 

 des directions de même espèce. S'il e\\sU- dans le pt)iyèdre "21 axes a'.., de A- espèces dlH'ë- 

 rentes, il y en aura '~ de chaque espèce et v = y • 



{**) Encore plus : dans ce cas, la valeur t„. = 2 est la seule possible, c"esl-:Vdire que 

 dmis un poUfèdre ne possédant qu'un seul ordre d'nxca inverses, ces axes sont nécessairement 

 de deux espèces dilférentes. 



