SUPERPOSABLES A LELH IMAGE. 



THEOREME III. 



Un polyèdre ne peut posséder plus de deux ordres d'axes inverses de 

 symétrie. 



Si X est le nombre d'ordres d'axes inverses, on a 



2N'rt' 2Py 2QV/' 



H — -î- + —--^ -4- .. . = xy= N'm'x -+- Vp'x -t- QV/'x H- ... . . . (4) 



/,„. A-,,. /r,. 



Les deux membres de celle relation ont le même nombre de termes; les 

 multiplicateurs de N'n', P'/^»', L'tc, dans le premier membre, élant tout au 

 plus égaux à 2, l'égalité deviendrait impossible, si x dépassait 2. Donc : 



a = i ou 2. 



CoKOLLAUtE. — De ce (pii précède il suit (|ue les polyèdres non centrés 

 superposables à leur image peuvent être rangés en deux catégories : 



a) Polyèdres possédant un seul orore d'axes inverses, de deux espèces 

 différentes. 



h) Polyèdres possédant deux ordres d'axes inverses, les axes élant de 

 même espèce dans chaque ordre. 



En elTet, pour x = 1, la relation (4) devient /i„, = 2 ; pour x = 2, la 

 même relation donne 



m'n' 2P'p' 



!<„■ Ap. 



= 2N'»»' -+- 2P>', 



ce qui exige k„, = kp,= \ {*). 



(*) Comme je l'ai dit en commençant, la relation (4), aprôs avoir donne' les proprié'ttSs 

 relatives au nombre d'espùces et d'ordres possibles, se transforme en une identité, tandis 

 que son analogue, relative aux axes directs, permet de cliercher toutes les classes possibles 

 de polyèdres qui peuvent occuper dans l'espace plusieurs posilions identiques en apparence 

 [loc. cit., pp. 16, 17 et suivantes, équation {lù]. 



