16 MÉMOIRE SUR LES FOYERS. 



et il faudra successivement identifier la première avec chacune de ces 

 deux-ci. Mais comme celles-ci ne renferment aucun rectangle, on a: 



AB = 0, AC = o, BC = 0. 



Ainsi deux des quantités A , B , C sont nulles ; dès lors la surface doit 

 être de révolution. Nous supposerons donc que P'' = P'. Et alors on 

 aura : 



B = 0, C = o. 



Pour identifier les deux équations dans le cas des surfaces douées de 

 centre , il reste à faire : 



d — A^ = «p, 

 1 = ^P', 



— 2a;' — 2AD = o, 



y' = o. 



z' = 0, 



ar'2 _ D2 = — aH. 



Les quatrième et cinquième indiquent que le foyer est situé sur l'axe 

 de révolution de part et d'autre à égale distance du centre. 



Dans l'ellipsoïde, P, P', H sont de même signe. S'il est aplati, P' < P, 

 A et x' sont imaginaires et il n'y a pas de foyers. S'il est allongé, P' > P, 

 et il y a deux foyers. 



Dans l'hyperboloïde de révolution à une nappe , P' et H sont de même 

 signe et P de signe contraire; donc x' est imaginaire, et il n'y a aucun 

 foyer. 



Dans l'hyperboloïde de révolution à deux nappes, P et II sont de même 

 signe et P' de signe contraire; donc A et x' sont réels, et il y a deux 

 foyers. 



Le plan directeur est o = Aa? + D ou x = p, ^ ^ • Il y en a un pour 

 chaque foyer; il est perpendiculaire à l'axe de révolution et réel ou ima- 

 ginaire avec son foyer. 



