18 MÉMOIRE SUR LES FOYERS. 



révolution. Dans ce cas, la courbe possède les foyers relatifs à cette sur- 

 face. Si elle en a d'autres , c'est que par la courbe on peut mener une 

 seconde surface de révolution. 



Laissant de côté le cas où la courbe n'a aucun foyer et celui où elle n'a 

 que les foyers relatifs à une surface , examinons si une courbe par laquelle 

 on peut faire passer deux surfaces de révolution, peut encore appartenir 

 à une troisième. Or, la courbe pouvant être déterminée par deux surfaces 

 quelconques, prenons pour déterminantes tes deux surfaces de révolution. 

 Choisissant alors l'axe des ce parallèle à l'axe de révolution de la première, 

 celle-ci aura pour équation : 



ax% -t- a'y"^ -t- o'z- -f- car + c'y + c"z -^ d =^ o. 



Pour la seconde surface, il nous faudra distinguer trois cas, celui où 

 les deux axes de révolution sont obliques, celui où ils sont perpendicu- 

 laires, enfin celui où ils sont parallèles. 



S'ils sont obliques, conservons l'axe des x parallèle au premier et 

 menons les plans xij, xz de façon que ni l'un ni l'autre ne soit parallèle au 

 second axe; la deuxième surface aura pour équation : 



Aa;2 -t- k'y"- -+- A"z^ -i- B»/s -^ ^'xz -\- B"x»/ -t- Cx -t- C'y -t- C"z -i- D = o, 



où B, B', B" ne sont point nuls, mais où l'on a les relations : 



B'B" , BB" _ „ BB^ 



^ ~~ 2B~ ^ ^ 2B^ "" ~ 2B"' 



Dans ce cas il ne passe par la courbe aucune autre surface de révolution 

 du second ordre. En effet, toute surface de cet ordre menée par la courbe 

 est comprise dans l'équation : 



:= JtA 

 -t- cr.'a 



- ak' 

 -a'a' 



y'- -f- aA" I z" -t- aBî/î -+- ah'xz -h o^B"xy -\- aC 1 X -t- aC 

 -t- a'a' -I- a'c -*- y<:' 



y -+- xC" I : -1- lïD 



a c 



lï'd. 



Or, les rectangles n'étant point nuls, celle-ci ne peut être de révolution 



