20 MEMOIRE SUR LES FOYERS. 



Aind la courbe d'interseclion de deux surfaces de révolution à axes perpendicu- 

 laires appartient encore à une troisième surface de révolution, dont l'axe est per- 

 pendicïdaire à ceux des deux premières. 



Supposons enfin que les deux surfaces données soient de révolution 

 autour d'axes parallèles. Leurs équations sont alors : 



o = ax'^ -+- a'y^ -»- a'z'^ -t- ex -+- c'y -\- c"z -\- d, 

 = Kx- -+- K'rf- -t- Mz'^ -t- Cx -t- C'y -i- C'z -t- U. 



Quand aucune des deux n'est une sphère, on ne peut avoir ni a^a', ni 

 A = A'. Toute autre surface de second ordre menée par la courbe a dans 

 son équalion même coefficient pour if et pour z^, et si l'on veut que le 

 coefficient de ^^ soit égal à chacun des deux autres, il faut poser : 



«A -j- a'a = a.\' -4- a'a', 



d'où 



a a — a' 



a.' A — A'' 



C'est donc un rapport fini et parfaitement déterminé. Ainsi par la courbe 

 d'intersection de deux surfaces de révolution à axes parallèles , on peut toujours 

 mener une sphère. 



Il y a ici deux cas à observer particulièrement. Le premier a lieu, 

 quand A = o, a=o; alors 4 = — tt correspond à une équation linéaire, 

 et on en conclut que deux paraboldides de révolution à axes parallèles se coupent 

 toujours selon une courbe plane. 



Le second cas se présente quand A' = o, a' = o, d'oîi l'on tire ^, = — -• 

 On a encore une équalion linéaire, et chacune des surfaces est un cylindre 

 parabolique. Ainsi : Ayant dans im plan deux paraboles dont les axes sont paral- 

 lèles , si par chacune on mène im cylindre quelconque dont la génératrice soit per- 

 pendiculaire à l'axe, leur intersection sera pkme. 



Revenons au cas général. En prenant pour axe des x, l'axe de révolu- 

 tion de la première surface et faisant passer le plan xy par l'axe de révo- 

 lution de la seconde, les deux équations sont : 



= ax'^ ■+■ a y- -+- a'z"^ -»- ex -t- d , 



o = Aa^ + K'if -»- K'z"- + Cx + C'y + l); 



