MEMOIRE SUR LES FOYERS. 



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et alors 



o = zk 



-+- x'a 



ak' 

 a! a' 



y^ -H «A' 

 -+- x'u 





«C'y 



aD 

 c'd 



est l'équation générale de toutes les surfaces du second ordre qu'on peut 

 mener par la courbe. On voit donc qu'elles sont toutes de révolution 

 autour d'axes parallèles, et que tous ces axes sont situés dans un même 

 plan; par conséquent, le lieu des foyers est une courbe plane. 



Pour avoir l'équation de ce lieu, il faut chercher les foyers de la sur- 

 face générale ci-dessus, puis éliminer le rapport -,. Or, pour cela, iden- 

 tifions l'équation de cette surface avec la formule connue : 



{X — j;')2 -f- (y — y'f + (s — ^'f = (M:r .4- % -H Ps + Q)2. 



La première ne renferme aucun rectangle , et le coefficient de y^ égale 

 celui de 2'^. On a donc : N =0, P = o, et il reste simplement six équations 

 de condition : 



«A + a'a ^ 1 — W, 



aV -»- a a' = 1 , 



aC ^ a'c = — "Ix' — 2MQ, 



1° 



2° 



3° 

 40 



5» o = — 23', 



6° aD -t- ad = f"- -t- y'* -1- z"- — Q2 



On a d'abord z' =0, ce qui est l'équation du plan qui contient tous les 

 foyers. Restent alors cinq équations entre les inconnues a, a', M, Q,x',y'. 

 Si donc nous pouvons éliminer les quatre premières, nous aurons le lieu 

 cherché; or, rien n'est plus facile. (2) et (4) donnent « et «', et entre (1), 

 (3), (6), on élimine de suite M et Q. On a donc : 



2y; 

 C 



2 A'?/' 

 a'C 



et 



4{«U + ad — x"^ ■ 



[A ^ *'a - 1) == (aC + a'c -i- 2j;'j*, 



