22 MÉMOIRE SUR LES FOYERS. 



ou par substitution : 



2Dh' d '2\'di/ \ / 2\y' a 2A'uî/' 



' ' r"i ■""' — y'' r:: — ' — ; -•- — 7~r' 



C a aC I \ L a at 



'2Cy' c Ik'ctj' 



\2 



2.r' 



G' a' a'C 



En posant pour abréger : 



2C 2\'c c 2A 2A'a o 



2D 2A'd _ d _ 



cette équation peut s'écrire : 



(.r' H- my' -+- )«)'- = (P!/' + </) (^"' + î/'' + '"i/' ^^ *) i^) 



et l'on remarquera qu'on peut déterminer les deux surfaces de façon à 

 satisfaire à l'équation (1), quels que soient les six coefficients. 



Le lieu des foyers est donc une courbe plane du troisième ordre. Elle 

 ne peut se réduire au second que quand ;j = o, c'est-à-dire quand ^ = ^; 

 et l'on voit qu'alors la courbe d'intersection est plane. Si le lieu a un axe 

 pour les transversales parallèles aux x, le premier degré de x doit dispa- 

 raître, donc m == 0, n = o, d'où c = o, C = o. Cela indique que les équa- 

 teurs des deux surfaces sont dans le même plan. 



Quand les deux surfaces sont deux paraboloïdes de révolution à axes 

 parallèles, ou quand ce sont deux cylindres pai-aboliques, comme on a 

 vu plus haut, la courbe d'intersection est plane; dans tous les autres cas 

 de l'intersection des deux surfaces de révolution à axes parallèles, la 

 courbe est sphérique. Si nous supposons donc l'origine au centre de la 

 sphère, ce qui comprend encore tous les cas où la courbe n'est point 

 plane, et si nous supposons que la sphère soit notre première surface, 

 on aura : a = a', c = o, -j = ■ — ■ R^. 



a 



Posant alors : 



2D 2A'Ri' 



' ■ C C 



