24 MEMOIRE SUR LES FOYERS. 



Supposons que la seconde surface soit de révolution autour d'un axe 

 parallèle à celui du cône, leurs équations seront : 



o ^ ax^ -+- u'y'^ ■+■ a'z-, 



= A.i'^ + A't/- -t- A'z'^ -h Cx -^- C'y ■+- D. 



Menons un plan quelconque par l'axe du cône : z = aij. Ce plan cou- 

 pera généralement la courbe en quatre points situés sur deux génératrices 

 du cône , et les quatre segments compris sur ces génératrices entre les 

 points de la courbe et le sommet du cône sont égaux aux quatre x de la 

 courbe correspondants, divisés par une constante, qui est le cosinus du 

 demi-angle au centre du cône. Si donc, entre les ^, il y a une relation 

 homogène, la même relation existera entre les segments. 



Prenons donc les x des quatre points en question. On a d'abord, en 

 éliminant z , 



o := ax^ -+• a'î/- (1 -+- a-), 



= kx'^ + \'y^ (I -t- a^) ^ Cx + C'y -+- D. 



Éliminant ensuite y, on trouve : 



C'2a a'x^ 



[(.W — \'a)x'i ■+- Cax + ha'f = — 



l-t-«2 



Il n'y a que le coefficient de a)\ qui soit fonction de «. On en déduit 

 donc que : Dans la courbe d'interseclion d'un cône de révolution avec une sur- 

 face de révolution autour d'un axe parallèle à celui du cône, les quatre segments 

 compris à partir du sommet du cône sur deux génératrices dans un plan quelconque 

 mené par l'axe sont tels que leur somme est constante, que la somme de leurs 

 inverses est constante et que leur produit est constant. De plus, on a cette rela- 

 tion que la somme vaut la somme des inverses multipliée par la racine carrée du 

 produit. On l'énonce encore autrement, en disant que : -Si fon ajoute les 

 quatre quotients obtenus en divisant successivement par chacun des segments le pro- 

 duit des trois autres, leur somme égale la somme des carrés des quatre segments. 



Reprenons par une autre analyse l'intersection d'un cône de révolu- 

 lion avec une surface quelconque du second ordre, et recherchons dans 



