MEMOIRE SUR LES FOYERS. 



ÉQUATION DES SURFACES DOUÉES DE FOYERS. 



La surface S = o étant rapportée à trois axes rectangulaires, la dis- 

 lance d'un de ses points x, y, ; à un point ûxe de l'espace x', y', z' est : 



/5 = l/( X — a;' )2 + (2/ — y' )â -H (2 - 5')2 



Cette expression de p. doit être une fonction rationnelle des coordonnées 

 X, y, z; et cela doit s'obtenir par la condition S = o. Nommant donc F cette 

 fonction rationnelle, on a : 



irs! = (^ _a;')2 -H (2/ — «/)2 + (s - z')\ 



et cette équation doit être identique avec S = o. 



Telle est donc, en coordonnées rectangulaires, l'équation de toute sur- 

 face douée d'un foyer. 



Quand cette fonction F est entière, le foyer est de premier genre; quand 

 elle est fractionnaire, le foyer est de second genre. Le premier genre est 

 ainsi un cas particulier du second. D'après cela, désignant par F et /deux 

 fonctions rationnelles et entières des coordonnées x,y,z, l'équation d'une 

 surface douée d'un foyer de premier genre est en coordonnées rectan- 

 gulaires : 



et l'équation d'une surface douée d'un foyer de second genre est : 



F2 = p [(o; _ x'P + {y - J/T- + {: ~ -')']• 



Observons ici qu'une surface, pour avoir un foyer, doit être d'ordre 

 pair. A la vérité on trouvera plus loin l'exemple d'une courbe de troisième 

 ordre douée d'un foyer; mais alors, outre cette courbe, il existe encore 

 une droite qui a ce même point pour foyer, et la droite jointe à la courbe 

 constitue une véritable ligne du quatrième ordre. 



