i MÉMOIRE SUR LES FOYERS. 



Euler, bien que ces points soient surtout remarquables dans les ques- 

 tions pbysiques , cbercha les foyers des courbes du second ordre par une 

 condition analytique. Ce sont, d'après sa définition, les points du plan de 

 la conique, dont la distance à un point quelconque de la courbe est une 

 fonction rationnelle des coordonnées de ce dernier. 



En 1 820, mon père, partant de la propriété de l'ellipse que la somme des 

 rayons vecteurs tirés des foyers à un même point quelconque de la courbe 

 est une constante, fit voir que le sommet de tout cône de révolution mené 

 par une conique est un foyer de celle-ci ; il démontra, le premier, que le 

 lieu de ces foyers est une autre section conique. M. Cbasles reconnut aussi 

 un troisième foyer aux ovales. Or, la définition d'Euler s'applique à tous 

 ces points. Il devenait dès lors intéressant de rechercher directement les 

 foyers, en partant de cette condition. Cette étude nous a conduit à quel- 

 ques résultats que nous croyons nouveaux; mais le but principal de cet 

 écrit est de déterminer les foyers par un procédé simple et général. 



Nous nous sommes donc proposé de rechercher les courbes ou les sur- 

 faces douées de points tels, que leur distance à un point quelconque de 

 la courbe ou de la surface, soit une fonction rationnelle des coordonnées 

 de ce point. 



Mais avant tout, pour que cette définition ait quelque valeur, il faut 

 démontrer que les points ainsi définis sont indépendants de la position 

 des axes. Rien n'est plus simple; car pour passer d'un système d'axes 

 à un autre, on a des relations linéaires entre les coordonnées anciennes 

 et nouvelles; ainsi les premières s'expriment sans aucun radical au moyen 

 des autres. Si donc le rayon vecteur était fonction rationnelle des anciennes 

 coordonnées, il devra l'être encore pour les nouvelles. 



11 en résulte que pour déterminer les foyers d'une surface, on peut 

 indifféremment prendre trois axes quelconques. Pour plus de simplicité, 

 nous les supposerons rectangulaires dans tout ce qui va suivre. 



