14 MÉMOIRE SUR LES FOYERS. 



B est imaginaire. Il faut donc que D soit aussi imaginaire de la forme 



D' 1/ 1, pour que le plan directeur soit réel. Remplaçant alors C, 



qui est arbitraire, par C ^ — 1, le plan directeur devient réel, 

 B'y _j_ C'2 -f- D' = 0, l'imaginaire passant dans le rapport. Il suffit pour 

 cela que la coordonnée y' du foyer soit réelle; et alors, de même que, 

 dans le premier cas, le rapport était A = ^ \. — 7 = ^^, il est ici B = 



Dans l'hyperbole, </ est négatif, donc B est réel ; D doit donc être réel et 

 par suite aussi y'. Ainsi, quoique les foyers soient vraiment imaginaires, 

 l'équation de la courbe, écrite en mettant en évidence les foyers et les 

 directrices, ne contient aucune imaginaire; ceci tient à cette propriété, 

 qui paraît paradoxale au premier abord, que la distance d'un point réel 

 à un point imaginaire peut être réelle. 



Pour en donner l'exemple le plus simple, soit un pointa? = a situé sur 

 l'axe des x, et un point situé sur l'axe des 2, pour lequel x^o, y = o, 

 z = b V/ — 1. En prenant la dislance de ces deux points, on a : ^^ a- — //-. 

 La sphère décrite du premier d'entre eux comme centre avec ce rayon ne 

 coupe pas l'axe des s. Mais il faut prendre l'intersection de cet axe avec 

 l'hyperboloïde imaginaire, qui est le complément de la sphère. 



Le plan directeur, dans le cas que nous examinons, étant réel, quoique 

 le foyer soit imaginaire, on peut cependant donner un énoncé réel à la 

 propriété géométrique représentée par l'équation aux foyers. Par exemple, 

 dans le cas de l'hyperbole ci-dessus, on a 7 = — -,, p = ^, et l'équation 

 de l'hyperbole s'écrit : 



e b \ a^y 



2„'2 



y — -y '== y-^ -*- ") -*- ^y^y 



%- 



Le premier membre donne le plan directeur ou la droite directrice; le 

 second donne un cercle. 



L'hyperbole étant connue, prenons y' à volonté et construisons le cercle 

 donné par le second membre; le centre est situé sur le second axe de 

 l'hyperbole et éloigné du centre de la courbe de la quantité y'; son rayon 

 est fonction de y'. Construisons la droite directrice correspondante, qui est 



