MÉMOIRE SUR LES FOYERS. 13 



trice correspondante sont dans un rapport constant , celui de l'excentricité au demi- 

 grand axe. 



Or, il résulte de la déflnition même des directrices que, pour un foyer 

 déterminé et pour sa droite directrice, la dislance d'un point quelconque de 

 la section conique au foyer et à la droite directrice correspondante sont dans un 

 rapport constant. 



Rapprochant ces deux propositions, on en déduit le théorème suivant : 



Les distances d'un point arbitraire de la section conique à l'un quelconque de 

 ses foyers et à la droite directrice correspondante , sont dans un rapport constant , 

 celui de l'excentricité au demi-grand axe. 



Soit une conique. Prenons deux points de sa focale et les deux droites 

 directrices correspondantes. Quel que soit le point de la conique, la 

 somme ou la différence de ses distances aux deux droites directrices , et 

 par conséquent aux deux foyers, est une constante. Pour un autre point 

 de la conique, la somme ou la différence des deux distances sera donc 

 la même que pour le premier point. On pourra donc énoncer la propo- 

 sition sous la forme suivante : 



Si l'on joint deux points quelconques d'une conique à deux points également 

 arbitraires de sa focale, il existera entre les quatre droites de jonction une rela- 

 tion linéaire telle que la somme de deux de ces droites est égale à la somme des 

 deux autres. 



Cette seule proposition ainsi énoncée suffit aussi à montrer la récipro- 

 cité des deux coniques comme lieux des foyers. 



Examinons maintenant le second cas, celui où A = 0. Alors : 



a = -, B=\/l— -, 2x'=^, BD-4-?/' = o, D2 = ^ + ?/"^ + s'2. 



Dans ce cas encore, le lieu des foyers est plan 2a;' =^, et l'équa- 

 tion du lieu est : z'^ -f- y^ y'^ + |^= 0. Or, comme 1 — q est toujours 

 positif, cette courbe est imaginaire. Mais ce qu'il y a de remarquable 

 dans ce cas, c'est qu'à des foyers imaginaires peuvent correspondre des 

 plans directeurs réels. 



Dans l'ellipse, par exemple, q est positif, plus petit que l'unité; ainsi 



