1 2 MEMOIRE SUR LES FOYERS. 



Gomme z est nul pour tous les points de la courbe, on peut le suppri- 

 mer dans la recherche du foyer. Les équations précédentes doivent être 

 identiques et par conséquent tous leurs termes proportionnels. Cela donne 

 six relations : 



A2 — 1 = — 7.q, 

 B^ — 1 = — ^, 

 2AB = 0, 

 2 AI) -t- 2ar' = ap, 

 2BD H- 2?/' = 0, 

 D2 — x'-^ — y'i — s'2 = 0. 



La troisième donne soit A = o ou B = o. 



Supposons B = 0. Alors a = 1 , A = ^ i — </. Or, q est négatif, nul, 

 ou positif plus petit que l'unité, donc A est réel. Il reste 



y' = 0, 2AD -+- 2j;' = p, D- — x'^ — z'- = o. 



Nous avons donc deux équations entre a?', z', D. Ainsi la question est 

 indéterminée et les foyers forment un lieu. Ce lieu est plan, puisque y' =o 

 et son équation est : 



i^x' — /j)2 = 4 (1 — q) (.t'- ■^- z"^), 



OU encore : 



y-z""- = ^ — px + 7j;'2. 



Les plans directeurs sont compris dans l'équation kx + Cz + D = 

 où A = ^ 1 — f/, D ^ ^^ ^'- 4" i'^, et où G est entièrement arbitraire. 

 Ainsi tous les plans directeurs relatifs à un même foyer coupent le plan 

 de la courbe selon une même droite parallèle au second axe, qui est la 

 droite directrice relative à ce foyer. Quand on passe d'un foyer à un 

 auti'e, cette droite directrice varie en demeurant toujours pai^allèle au 

 second axe. Sa distance à l'origine est — 5 où D seul varie avec le foyer. 

 Mais D = ^ x'^ -\- z'- représente la distance à l'origine du foyer lui- 

 même, et comme notre origine est le sommet de la courbe, on peut 

 énoncer la proposition : 



Les distances au sommet de la courbe d'un de ses foyers et de la droite direc- 



