MEMOIRE SUR LES FOYERS. H 



Réduisons autant que possible le degré de $ et de ip par l'équation du 

 cercle, et soient «,„, f,, les deux plus hauts degrés qui sont premiers avec 

 x^-}- y'. Réduisant de même le second facteur du deuxième membre, on 

 a: — 2a;' a; — ^ij'ij. Le plus haut degré du premier membre est donc /f, d'or- 

 dre pair, celui du second tl ( — %z'a; — ^y'ij) d'ordre impair. Comme ces 

 deux produits sont irréductibles, ils doivent se détruire, ce qui nécessite 

 iv'iv-\- y'y= ou a;'^o, y'^o. C'est précisément le lieu des foyers assigné 

 au cercle. 



Le foyer de la sphère, devant être foyer de tout cercle tracé sur sa 

 surface, ne peut donc être que le centre. 



Dans toute surface du second ordre , on peut mener deux séries de 

 sections circulaires. Dans chacune des deux séries, les lieux des foyers des 

 cercles sont des droites parallèles, et ces droites ne coïncident que si la 

 surface est de révolution. C'est donc dans ce dernier cas seulement qu'une 

 surface de second ordre peut avoir un foyer. 



VL 



DES FOYERS DANS LES SECTIONS CONIQUES. 



Les trois courbes planes du second ordre sont comprises dans l'équa- 

 tion y- = px — qx^, OÙ p est le paramètre toujours positif et q le rapport 

 carré du second axe au premier (ce rapport étant positif, négatif, ou nul, 

 suivant qu'il s'agit d'une ellipse, d'une hyperbole ou d'une parabole); la 

 deuxième équation est z = o. 



La courbe générale du second ordre douée d'un foyer est représentée 

 en coordonnées rectangles par l'équation : 



; Ax -4- Dî/ -1- Cî -+- Dy2 = ( j — :r' f -^ [y - y' 



\2 



OÙ le point [x' , y', z') est le foyer et le plan o = Ax -{- By -{- Cz -]- D la 

 directrice. Le rayon vecteur tiré du foyer au point x, y, z, de la courbe 



est p == hx + B)/ + Cz + D. 



