10 MEMOIRE SUR LES FOYERS. 



V. 



FOYERS DE LA DROITE ET DU CERCLE. 



Tovs tes points (Cime droite sont des foyers de celle-ei, et elle n'en a point d'autres. 

 Prenons cette droite pour axe des x, ses équations sont : y = o, z = o, 

 et la droite doit être située sur la surface 



Ainsi l'hypothèse?/ = o, 2 = doit réduire cette équation à une identité, 

 quel que soit x. Alors elle devient : 



Or, dans $" et cf^ tous les facteurs en x sont doubles; il doit donc en être 

 de même pour (.r — a;')' -{-y'- -\- z'-, ce qui exige que if- -{- z'- soit nul 

 ou que y' = 0, z' = 0. 



La proposition est ainsi démontrée. On en déduit immédiatement que le 

 plan n'a aucun foyer et que toute surface, qui admet des génératrices rec- 

 tilignes, ne peut avoir de foyer que si toutes ces droites passent par un 

 même point. Ainsi, parmi les surfaces du second ordre, l'hyperboloïde à 

 une nappe et le paraboloïde hyperbolique n'ont aucun foyer, et le cône 11e 

 peut avoir pour foyer que son sommet. 



Le cercle a pour fotjers tous les points de la droite menée par son centre perpen- 

 dicidairement à son plan et nen a aucun autre. Im sphère a pour foyer unique son 

 centre. 



En choisissant convenablement les axes coordonnés, on peut écrire les 

 équations du cercle z=o, x- + î/- = R'-. Si le point x' , y', z', est un foyer, 

 tous les points du cercle doivent salisfaii-e à l'équation : 



F^ = p[{x- x')^ -+- (2/ - y'f -4- (' - z'n 



Faisant 2 = 0, il faut donc que la condition a;- + |/- = R- rende identique 



'!."- = V- 1 {X - x'y^ +{y- y'T- + --.--]. 



