MÉMOIRE SUR LES FOYERS. 9 



alors comme courbe auxiliaire l'axe des x lui-même, auquel on pourra 

 mener une transversale parallèle aux y. Dans ce cas, le rayon vecteur tiré 

 du foyer à un point de la courbe du quatrième ordre est dans un rapport 

 constant avec le produit fait de l'ordonnée de ce point et de la distance de 

 ce point à l'hyperbole, cette distance étant comptée sur une parallèle 

 aux X, 



IV. 



DES FOYERS DANS LES COURBES. 



Une courbe est généralement définie par deux équations S =o, Sj = o, 

 qui représentent deux surfaces; or, le rayon vecteur mené du foyer à un 

 point quelconque de la courbe doit être fonction rationnelle des coordon- 

 nées de ce point. On a donc p= F ou p= y qu'on peut écrire : 



F2 = {X — x'Y- + [rj- II')' -^ (z — z'f. 



Il est clair que si, pour un point quelconque de la courbe on a une de ces 

 deux relations , elle doit résulter des équations des deux surfaces détermi- 

 nantes. 3Iais chacune de ces deux relations représente elle-même une surface 

 douée d'un foyer. Donc : 



Si une courbe possède un foijer, on peut mener par cette courbe une surface 

 qui aura ce même point pour foyer. 



D'ailleurs, on a évidemment ce second principe : 



Quand un point est foyer d'une surface , il est foyer de toutes les courbes qu'on 

 peut tracer sur cette surface. 



Il en résulte que la recherche des foyers des courbes se réduit à la ques- 

 tion de mener par ces courbes des surfaces douées de foyers. 



Ici encore, à chaque foyer correspond au moins une surface directrice. 

 Mais il faut observer que ces directrices ne doivent pas passer par la courbe. 



Nous nous occuperons maintenant de quelques exemples de la déter- 

 mination des foyers dans les surfaces et dans les courbes. 



Tome XXVI. 2 



