8 MEMOIRE SUR LES FOYERS. 



la seconde est y- = p. Dans (F) et (/") les coordonnées courantes des direc- 

 trices sont remplacées par les coordonnées du point de la surface proposée. 

 Mais on sait que p =jJ., donc P == p. p. j- Le théorème est donc dé- 

 montré quand les deux directions coïncident. 



Le cas où elles ne coïncident pas se ramène au précédent par le théo- 

 rème connu : Si par un point on mène à une surface deux transversales 

 parallèles à deux axes fixes, le produit des segments interceptés par la 

 surface sur l'une à partir du point, est au produit des segments interceptés 

 sur la seconde, dans un rapport constant, quel que soit ce point. 



Ce qui précède doit être modifié, quand le plus haut exposant de x 

 pour la direction choisie a un coefficient fonction des autres variables. Il 

 faut alors construire le cylindre représenté par ce coefficient et lui mener 

 par le point de la surface proposée une transversale parallèle à une troi- 

 sième direction fixe, puis faire le produit des segments delà transversale 

 interceptés par le cylindre à partir de ce point. 



En supposant que le cylindre se rapporte à la première directrice, on 

 dira que le produit des segments interceptés par la première directrice, 

 multiplié par le produit des segments interceptés par le cylindre corres- 

 pondant est dans un rapport constant avec le produit des segments inter- 

 ceptés par la deuxième directrice, multiplié par le rayon vecteur. Tous 

 les segments et le rayon vecteur tiré du foyer sont comptés à partir du 

 même point quelconque de la surface proposée, et pour chaque directrice 

 ou cylindre suivant une direction arbitraire, mais constante. Car alors, 

 dans la dernière formule A n'est plus constant, mais représente une con- 

 stante D multipliée par le produit p' des segments relatifs au cylindre, et la 

 relation est — = ^r- 



PP D 



Pour plus de clarté, prenons un exemple dans le plan. Soit : 



{xy — ni-)" = X- -4- li- 

 ane courbe du quatrième ordre, dont l'origine des coordonnées est un 

 foyer de premier genre et qui a pour directrice l'hyperbole équilatère 

 xy = m-. Prenons pour direction des transversales l'axe des x; nous aurons 



