MÉMOIRE SUR LES FOYERS. 7 



Examinons d'abord les foyers de premier genre, p = F est l'expression 

 du rayon vecteur, les x, y, z contenus dans F étant les coordonnées de la 

 surface à foyer. Si nous posons F = o, en laissant x, y, z arbitraires, nous 

 aurons une surface qui sera la directrice relative au foyer , dont les coor- 

 données sont x', tj', z', et la propriété de cette directrice consiste en ce que : 

 Si, d'un point quelconque de la surface, on mène à la directrice une transversale 

 parallèle à un axe arbitraire mais invariable , le produit des segments interceptés 

 par la directrice, à partir du point de la surface, est dans un rapport constant avec 

 le rayon vecteur mené de ce point au foyer. 



Prenons l'axe invariable pour axe des x ; et soit alors , dans F, Xx" le 

 terme ayant le plus haut exposant de cette variable. En transportant l'ori- 

 gine des coordonnées au point a;, y, 2 de la surface proposée, le plus haut 

 exposant de x dans l'équation de la directrice demeure Âx", et le terme 

 constant devient (F) où les variables sont remplacées par les coordonnées 

 du point de la proposée. Le produit des segments interceptés par la direc- 

 trice sur le nouvel axe des x à partir de l'origine est donc : p = y- Or (F) 

 est précisément le rayon vecteur tiré du foyer au point de la surface pro- 

 posée; donc p = ^- Le théorème se trouve ainsi démontré. 



La directrice correspondante à un foyer de premier genre est de l'ordre 

 moitié de celui de la surface. 



Pour les foyers de second genre, il y a généralement deux directrices, et 

 leur propriété s'énonce : Si d'un point quelconque de la surface, on mène à la 

 première directrice une transversale suivant une direction arbitraire mais inva- 

 riable, et qu'on fasse la même chose pour la seconde (les deux alignements pouvant 

 d'ailleurs différer), le produit des segments interceptés par la première directrice est 

 au produit des segments interceptés par la secotide, comme te rayon vecteur mené 

 de ce point au foyer est à une constante. 



Pour le démontrer aisément, supposons d'abord que les deux directions 

 coïncident. F = 0, /"= étant les deux directrices, et Aie" et Bo;?' présentant 

 les plus hauts exposants de a;, portons l'origine en un point de la surface pro- 

 posée. Comme les x sont supposés pris sur une parallèle à la direction des 

 transversales, le nouvel axe sera une de celles-ci, et l'origine des coordonnées 

 sera en même temps l'origine des segments. Le produit des segments inter- 

 ceptés par la première directrice est '-^ = P , le produit des segments de 



