MÉMOIRE SUR LES FOYERS. 31 



Substituant ces valeurs dans la seconde équation, on trouve : 

 41.2 .2 ^ 4L2 Cx H- C'y) — (Cij — Cx)-^ = o. 



C'est donc un cône du second ordre, concentique au premier, dont la 

 base est parabolique et qui est tangent au plan z=o suivant la droite Cij 

 = C'x. 



L'équation du cône se simpliiie, quand on prend la droite de contact 

 pour axe des x. Alors C = o, et l'enveloppe est : 



o = 4L222 ^ iCLxz — C'ij^. 



Il y a deux cas particuliers intéressants, que nous examinerons successi- 

 ment. Le premier a lieu quand C = o, C =o; le second quand c = o. 



Soit doncC=o, C' = o. On a pour somme des z inverses des points situés 

 sur une génératrice Q. = — ^, et la droite est quelconque, assujettie 

 seulement à passer par l'origine. Quant à la surface du second ordre, dans 

 ce cas elle est coupée par le plan z = o suivant une courbe qui a son centre 

 à l'origine. On peut donc énoncer le théorème suivant : 



.Si par le centre d'une seedon plane d'une surface de second ordre, on mène une 

 droite quelconque , la somme des distances inverses à ce plan des deux points où la 

 transversale coupe la surface est une constante. 



Cette propriété est générale et s'applique à toutes les surfaces sous 

 l'énoncé suivant : 



Quand l'équation d'une surface est telle que les deux termes du premier degré 

 en X et en y manquent , si par Coriqine on mène ime transversale quelconque , la 

 somme des distances inverses, au plan xy , des points où la transversale coupe la sur- 

 face est une constante. 



Rien n'est plus simple que de la démontrer directement. Cet énoncé 

 peut prendre une autre forme : 



Si par un point on tire une infinité de transversales à une surface quelconque , 

 on pourra toujours mener par ce point un plan tel que la somme des distances 

 inverses ti ce plan des points où ime quelconque des transversales rencontre la sur- 

 face soit une constante. 



