32 MEMOIRE SUR LES FOYERS. 



La démonstration de cette propriété demande quelques lignes d'analyse. 

 Rappelons d'abord une formule d'Euler pour passer d'un système d'axes 

 rectangles à un autre système d'axes rectangles. 



L'origine reste la même, le nouvel axe des x' est dans le plan xj/ faisant 

 l'angle r<^ avec l'axe des x , les deux plans des xy comprennent l'angle 5. 

 Les formules en question sont alors : 



X = a' cos V — y sin y cos S -i- a' sin y sin 0, 

 ^ = x' sin .. -4 y' cos o cos % -\- z cos j» siii h, 

 s 1= ?/' sin â -t- z' cos ô. 



Cela posé, pour prouver la proposition , il faut , sans changer d'origine, 

 trouver trois nouveaux axes rectangles en ce point, tels que l'équation de la 

 surface ne contienne plus les termes de premier degré en x et en y. Or, par 

 les foimules ci-dessus, qui permettent de passer à un nouveau plan des x\] 

 quelconque, tous les tei'raes conservent le même degré. Il suffira donc dr 

 voir ce que deviennent les termes du premier degré. Représentons-les par : 



A:r -1- Bî/ -+- C^, 



et dans l'équation transformée, prenons seulement les termes en x et en j/, 

 que nous égalerons à zéro ; il vient : 



=: A COS ^ -)- B sin ç , 



o = — A sin y cos S -+- B cos s cos 6 -4- C sin 6; 



d'oîi l'on tire : 



A A sin p — B cos ' 

 tg ? = - J, tg 6 = ^ 



L'angle (jj étant déterminé par sa tangente est toujours réel; il en est de 

 même de B. Ainsi, le théorème se trouve démontré, et l'on voit même 

 qu'un seul plan repond à la question. 



Ce plan, en nouvelles coordonnées, est ~J = o. Pour avoir son équa- 

 tion en fonction des anciennes coordonnées , remarquons que nous avons 



