36 MEMOIRE SUR LES FOYERS. 



DES FOYERS DE PREMIER GE^RE DANS LES COURBES PLANES DU QUATRIEME ORDRE. 



Toute courbe plane du quatrième ordre douée d'un foyer de premier 

 genre à directrice de second ordre peut, au moyen d'un choix convena- 

 ble de coordonnées, s'écrire ainsi qu'il suit : 



(\x^ -t- \'if -t- C'y -t- D)2 = (X — x')^ -+- [y — y' Y -+- s'*. 



Les axes coordonnés sont alors parallèles aux axes de la directrice, et 

 même l'axe des y coïncide entièrement avec l'un d'eux. On sait que, dans les 

 courbes dépourvues de centre, on ne peut faire disparaître C'y, mais comme 

 y' de sa nature est une quantité finie, on peut, en changeant l'axe des 

 X en un axe parallèle, arriver enfin à la forme : 



(Ax-2 -4- Ay -+- C'y -+- D)2 = (X - x'P -V- j/2 -H z'\ (1) 



et cette équation en coordonnées rectangulaires comprend encore toutes 

 les courbes du quatrième ordre à foyer de premier genre dont la directrice 

 est de second ordre. 



Dans quel cas cette courbe possède-t-elle un second foyer de même 

 espèce? 11 faut pour cela que l'on puisse identifier l'équation (1) avec : 



(ax^ -t- a'j/2 A- hxy a- ex -¥- c'y -+- df = (x — x,)^ -^ (V — Vt)^ ■+- z\ . . . (2) 



Mais la première ne contient aucun des termes x^y, xxf, a;^ xif. On a donc : 



a6 = 0, a'6 = 0, ac ^ o , a'c = o; 



et comme a, a' ne peuvent être nuls simultanément, ce qui entraînerait 

 A = o, A' = o, et alors l'équation (1) descend au second degré, il faut que 

 l'on ait : 



6 = 0, c = 0. 



