MÉMOIRE SUR LES FOYERS. 37 



Pour identifier alors les deux équations, on a les conditions : 



a"- = a*A«. 



a'2 = a2A■^ 



aa' = a- A A', 



ac' = ac*AC', 

 2ad — I = ^-^ {"2AD — I), 

 ia'd — 1 = a2 CâA'D — 1). 



d'où l'on déduit : 



O ^ aA , 



a' = «A', 

 c' = aC. 



Des deux dernières on tire : 



d (A — A') = aD (A — A'), 



et cette condition se sépare en deux autres : 



I» (/ = aD, 2" A = A'. 



Si rf=aD, on a «^ = 1; les premiers membres des deux équations de- 

 venant identiques, il en doit être de même des seconds, et l'on ne trouve 

 aucun résultat nouveau. 



Ainsi le seul cas où une courbe plane de quatrième ordre puisse avoir 

 deux foyers de premier genre, a lieu, quand A= A', c'est à dire quand la 

 directrice est un cercle. 



Dans ce cas, l'équation (1) peut encore être simplifiée; car l'origine des 

 axes rectangles étant au centre du cercle, on peut tirer l'axe des x par le 

 foyer, et elle devient alors : 



(Ax« -h Aif + D)2 = {X - x')2 + »/2 ^ z'^, 

 qu'on peut encore écrire sous cette autre forme : 



[X^ + J/^2 H- \l(X- -H f/') -+- Nx -4- P = 0. 



