40 MEMOIRE SUR LES FOYERS. 



et l'on a les condilions : 



(,.) ) N'V = N"V, 



Telles sont les trois relations qui lient deux foyers quelconques. 



L'équation de l'ovale peut s'écrire autrement, en prenant pour variables 

 les rayons vecteurs tirés des deux foyers à un même point de la courbe. 

 Alors les deux équations précédentes deviennent : 



j2 + j/2 _ R'2 = NV, 



a-2 -+- y- — R'"^= N'V", 



ou bien : 



N'/ + R'2 = N'V" -t- R"^. 



C'est sous cette forme que l'équation de l'ovale a été généralement 

 étudiée. Il faut seulement remarquer, ici, que les rayons vecteurs se rap- 

 portent à deux foyers quelconques. Ainsi les rayons vecteurs tirés d'un point 

 quelconque de l'ovale à deux de ses foyers, choisis arbitrairement , sont liés entre 

 eux par une relation linéaire. 



En reprenant l'équation : 



{x^ -y- y- — R'-f = N'^ [ (x — x')-^ + 2/2-+- z'^], 



on voit que la distance d'un point de l'ovale à un foyer est dans un rap- 

 port constant avec le carré de la tangente menée de ce point au cercle 

 directeur correspondant. Si R''^ est négatif, en portant sur l'axe des 2 à 

 partir de l'origine une longueur numériquement égale à R', la distance 

 d'un point de l'ovale à un de ses foyers est constamment proportionnelle 

 au carré de la distance de ce point au point déterminé sur l'axe des z. 

 On modifierait semblablement sans peine l'énoncé, si z'- était négatif. 



La seconde relation montre encore que x' et x" doivent avoir le même 

 siqne. Ainsi tous les foxjers se projettent sur le plan de la courbe d'un même côté 

 du médian; et , pour deux foyers donnés, le rapport des réfractions est préci- 



