42 MEMOIRE SUR LES FOYERS. 



f = o, ou a un second foyer distant du plan de la courbe de ^ cfi — y- 



et dont les directrices sont le cercle x^ _j- y- — y'y=o et la droite a; ^ o. 



Cette équation peut aussi quelquefois se décomposer en deux facteurs du 



premier et du troisième degré. Cela ari'ive chaque fois qu'elle a la forme : 



{ux -i- bij -i- ab)- = y- [x- + (y — y')- — (y' -t- a)-]. 



Les deux facteurs sont alors : 



o = y -^ a. o = x'-{y — a) — '2.abx -h y^ — y- {iy' -+- «) — b-y — ub-. 



mais il n'y a de foyer réel que si y' ^ — a. Dans ce cas, son équation 



est : 



,7- (y — a) — ^abx ■+- { »/ -4- o ) ( y^ — 6- ) ^ o. 



Cette courbe est une hyperbole défective ; elle a reçu le nom de focale. 

 Pour la construire (voir la planché), soit OF = a et OB = />, F est le foyer, 

 BF est la première directrice et OB est la seconde. La droite AA' paral- 

 lèle à OB et distante de celle-ci de la quantité a est l'asymptote. 



Si, par le point B, on tire BS perpendiculaire à BF, et qu'on suppose 

 que AA' décrive autour de BS un cône de révolution, dont le sommet 

 sera en S, on a précisément le cône dans lequel la courbe a été étudiée 

 d'abord comme lieu des foyers de toutes les sections coniques dont le 

 plan passe par le point F et est normal au plan de la courbe. 



Le point N est tel que ON=OB, et quant au point M pour lequel 

 l'angle BFM est droit, on a MP =BF. De même, le prolongement de FM 

 donne M'P' = MP et les points M, M' sont précisément ceux dont les tan- 

 gentes sont parallèles à l'asymptote. 



La propriété caractéristique des foyers est que, pour un point quel- 

 conque m, on a : 



mp "" "OB ' ' * 



Si y' -]- n'est pas nul , on n'a pas de véritable foyer. Le point F pour 



(*) Voyez Disserlatio inaiiguralis de cnrva focctli, etc.; A. Quetelet; in-4'\ Garni, 1819. 



