12 LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



C nul, l'équation (C) se réduit à Bc +D = o , et donne s = ±[/I. 2 ; les 

 deux racines sont, par conséquent, imaginaires, si B et D sont de même 

 signe (l re classe); elles sont réelles et différentes, si B et D sont différents de 

 zéro et de signes contraires (2 me classe) ; si D est nul , elles sont égales entre 

 elles et différentes de la direction de l'axe des ordonnées (3 me classe); et enfin 

 elles sont égales à celte dernière direction, si B est nul (i me classe). Il en 

 résulte qu'une équation privée du terme cube de l'une des variables et du 

 terme dans lequel cette variable multiplie le carré de l'autre, est aussi géné- 

 rale que l'équation complète (À) ; elle Indique seulement que les deux axes 

 des coordonnées ont certaines directions. Nous connaissons déjà celle de l'axe 

 des ordonnées; l'examen de la valeur de y tirée de l'équation (A'), nous fera 

 connaître l'autre. 



19. Cette valeur se compose d'une partie rationnelle et d'une partie radi- 

 cale, liée à la première par le double signe. Le lieu géométrique de l'équa- 

 tion y = — '\ ^ x ^ coupe donc en deux parties égales chacune des cordes 

 de la direction de l'axe des ordonnées, qui est une direction simple aussi 

 longtemps que B n'est pas nul, et qui, en cas de B = o, devient une di- 

 rection triple. Dans le premier cas, ce lieu géométrique est une hyperbole 

 du 2 me ordre , rapportée à un système d'axes dont celui des ordonnées est 

 parallèle à l'une des asymptotes de celte hyperbole, et dont l'autre axe devient 

 parallèle à la deuxième asymptote de la même hyperbole, du moment que C 

 est nul. Ces axes coïncident avec les deux asymptotes de l'hyperbole si, avec 

 C = o, E et F sont aussi nuls. Mais x == — - est l'équation de l'asymptote de 

 la ligne du 3 me ordre, dont la direction a été attribuée à l'axe des ordonnées : 

 cette asymptote est donc commune à cette ligne et à l'hyperbole bissectrice 

 des cordes de sa direction. Lorsque B = o, l'équation 2E_y -f- C# 2 + Fx -f 

 II = o représente une parabole ; mais si l'on attribue à l'axe des ordonnées 

 la direction asymptotique triple, C doit forcément être nul avec B, et alors 

 l'équation précitée se réduit à 2E# + Fx + \\ = o, équation d'une droite 

 que l'hypothèse de E et F nuls à la fois rejetterait à l'infini. Cette hypo- 

 thèse peut donc bien être faite dans chacune des trois premières classes, 

 mais elle n'est plus généralement possible dans la 4 me . Cela se conçoit, du 

 reste, car la condition E = o exige l'existence, à distance finie, d'une asym- 



