LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 13 



ptote, existence qui est générale pour une direction asymplotique simple, 

 mais qui n'a lieu que par exception , dans une direction asymptolique triple. 



En résumé, on voit qu'une équation de la forme Bxy" 2 -\- Dx 3 + E// 2 + 

 Vxy -j-Gar-f- %+ Ka?-f L = o est générale pour les quatre classes qui, 

 avec cette forme (en supposant R positif, ce qui est permis), seront dis- 

 tinguées par les conditions analytiques suivantes : l' e classe, R et D différents 

 de zéro et D positif; 2 me classe, R et D différents de zéro et D négatif; 3 me 

 classe, R différent de zéro et D nul; 4 me classe, R nul et D différent de zéro. 



On voit, en outre, qu'une équation de la forme Bxy 2 -)- Dr 5 + Gr 2 -f 

 II// -f- Kx -f- L=o (II) est apte à représenter toutes les lignes des trois pre- 

 mières classes, avec les conditions précitées de R différent de zéro et Dg o. 

 Elle indique que la courbe est rapportée à un système d'axes , qui sont les 

 deux asymptotes de l'hyperbole bissectrice des cordes de la direction de 

 l'axe des ordonnées, lequel est l'asymptote de l'une des directions asymptoti- 

 ques simples de la courbe. Pour que l'équation soit générale pour la 4- me 

 classe, il faut qu'elle contienne les six derniers termes de l'équation com- 

 plète (A); elle doit donc être de la forme Dx* -f- Ev/ 2 -J- Fxy -f Gx- + Hy -\- 

 K.;r + L = o(G). Cette forme indique que la direction asymptotîque triple a 

 été attribuée à l'axe des ordonnées. La position de cet axe, ainsi que la di- 

 rection et la position de celui des abscisses restent indéterminées, et peuvent 

 servir à l'évanouissement de trois termes de l'équation (G), selon le genre 

 qu'elle doit représenter. 



20. En donnant à l'équation de la courbe la forme (II), générale pour les 

 trois premières classes, l'équation (R) se réduit à (Rcr-f D) x° -f- (^Bzq + G)ar 

 + (R? 2 -f Hs-p-K) x + \\q + L = o (R'); et l'asymptote de la direction 

 simple attribuée à l'axe des ordonnées, est donnée par x = o. Cette valeur 

 introduite dans l'équation (II) donne y = — -■ L'asymptote coupe donc la 

 courbe en un point à distance finie , aussi longtemps que II est différent de 

 zéro, et elle ne la rencontre qu'à l'infini, si II est nul. Les deux cas possibles 

 de la direction asymptolique simple attribuée à l'axe des ordonnées, sont 

 donc distingués par les conditions analytiques H différent de zéro et H nul , 

 et, par suite, ce sont aussi ces conditions qui distinguent les deux genres de 

 la première classe. 



