14 LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



21. Dans la 2 me classe, D est négatif; les deux asymptotes, autres que 

 relie prise pour axe des ordonnées, sont donc données par les équations 



. /D G % /D G _ 



y = x y g - — |- (1) et y = -x y g + 2V/BD ' 



et l'abscisse du point d'intersection de chacune de ces droites avec la courbe, 

 est donnée par : 



|/âD(2Ll/D — GH) l/2D(2H/D--GH) 



G«1/ÏÏ + 4HD V^ + 4KD ^B * * = " GH y B — 4HD Vï> + 4KD ^B 



La première asymptote coupe la courbe en un point, si (G 2 l B + 4HD I D 

 + 4KDI/B) est différent de zéro, et, dans le cas contraire, elle ne peut la 

 rencontrer à distance finie. De même, la deuxième asymptote coupe la courbe 

 en un point si (G 2 |/B — 4HDJ/D + 4KDI/ÎT) est différent de zéro, et, dans 

 le cas contraire, elle ne peut la rencontrer à dislance finie. Or, chacune de ces 

 quantités peut être différente de zéro, si H l'est; mais si H est nul, elles de- 

 viennent identiques : l'une ne peut donc alors devenir nulle sans que l'autre le 

 devienne en même temps. Si Tune de ces quantités est nulle, l'autre se réduit 

 à ± 8HDI/ÏÏ, qui ne peut devenir nulle qu'à condition que H le soit. II en 

 résulte que chacune des trois asymptotes peut couper la courbe; que l'une 

 d'elles peut ne pas la rencontrer à distance finie, pendant que chacune des 

 ^leux autres la coupe en un point , et que chacune de ces asymptotes peut 

 aussi ne pas rencontrer la courbe à distance finie; tandis qu'il est impossible 

 que l'une coupe la courbe , lorsque les deux autres ne la rencontrent pas à 

 distance finie, ainsi que cela a déjà été dit au § 9. 



En donnant à l'équation la forme (H) , les trois genres de la 2 me classe sont 

 distingués par les conditions analytiques suivantes : 



1« Genre. H, [G 2 J/B + 4HD|/D + iKD]/B] } et 



[G 2 |/B — 4HDI/D + 4KDI/BJ différents de zéro; 

 2 me Genre. H , ou [G 2 VU + 4HD VÔ + 4KD |/BJ , ou 



[G 2 |/B — 4HD |/D + 4KD \/B] nul : 



