LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. lo 



3 me Genre. H nul, et [GW-f- 4HD \/D + 4RD|/B] nul, ou sim- 

 plement II nul et G a -f 4RD = o. 



On peut aussi rapporter les lignes de la 2 m0 classe à deux de leurs asym- 

 ptotes prises pour axes; alors l'équation de la courbe est de la forme : 



Bxy- + Cx*y + Fxy + Hy + Kx + L = o, 



et les trois genres sont analytiquement distingués comme suit : 



1 er genre : H, R et (BR — CH) différents de zéro; 

 2 me genre : H ou R ou (BR — CH) nul; 

 3 me genre : H et R nuls. 



22. Dans la 3 me classe, D est nul; l'équation (C) donne, par conséquent, 

 c-=o, pour la direction double, et alors l'équation (B') se réduit à Gx* + 

 (B</" : -{• K) x -\- W/ -{• L = o. Cette équation indique que chaque droite de 

 la direction asymptolique double coupe la courbe en deux points réels ou 

 imaginaires, et que cette direction ne contient aucune asymptote à distance 

 finie, aussi longtemps que G n'est pas nul. Lorsque G = o, l'équation (B') 

 se réduit à (Br/-f K)x -f- %-j- L=o, qui, pour l'hypothèse de (Br/ 2 -f- R) = o, 

 donne q = ± V—%- Les deux asymptotes sont donc ou imaginaires, ou 

 réelles et différentes, ou réelles et coïncidentes, selon que K5o(B étant 

 positif). Les quatre cas de la direction asymptolique double sont donc dis- 

 tingués par les conditions analytiques suivantes : 1° G différent de zéro; 

 2° G nul et R positif; 3° G nul et R négatif; i° G et R nuls. En combinant 

 les conditions de chacun de ces cas avec celles des deux cas de la direction 

 asymptolique simple (II différent de zéro et II nul), on obtient les conditions 

 analytiques de chacun des huit genres de la 3 me classe. 



23. En donnant à l'équation la forme (G), propre à la 4- me classe, l'équa- 

 tion (B) se réduit à Dx 5 -f (Ez 2 + Fz + G)x' 1 + [.(2Ea + F)q + Hz -f- 

 ¥L]x + Erf 2 + \\q + L = o. Cette relation peut donner les conditions ana- 

 lytiques de chacun des trois genres; la valeur de y, tirée de l'équation (G), 

 les fournira plus facilement. Celte valeur est 



F x + H i 



y = — ■ ± — V(Fx + H) 2 — 4E(Dx 5 -+- Gx* -*- Hx + L). 



2E 2E 



