<6 LES LIGNES DU TROISIÈME ORDRE. 



Kilo indique qu'aussi longtemps que E n'est pas nul, aucune des ordonnées 

 ne peut devenir une asymptote, et que chacune rencontre la courbe en deux 

 points réels ou imaginaires. Si E = o, l'équation (G) se réduit à Vxy -f D,//' 



„ => ,r w 11 > 11 .• Dx'-i-Gx--+-Kx-h L ^, 



+ Gx* + Uy -f- Kx -\- L = o; d ou 1 on lire y = ^— ^ ■ Cha- 

 que ordonnée ne rencontre donc la courbe qu'en un point, et il y en a une 

 dont le point de rencontre est à distance infinie : c'est l'asymptote donnée 

 par x = — -, qui, par conséquent, n'existe à distance finie qu'à condition que 



,_,._. . , , , , .. , Dx 5 -4- G x- -+- Kx -f- L . 



F ne soit pas nul. Si F = 0, la valeur de y se réduit a y = s > 



elle indique (pie toutes les ordonnées coupent la courbe en un point, et qu'il 

 n'en existe aucune à distance finie qui soit une asymptote ; elle indique en- 

 core que H doit être différent de zéro. Les trois genres de la l me classe 

 sont donc distingués parles conditions analytiques suivantes, en cas d'une 

 équation de la forme (G) : 1 er genre : E différent de zéro; 2 me genre : E nul 

 et F différent de zéro; 3 me genre : E et F nuls et H différent de zéro. Dans 

 le I e ' genre, F et H peuvent être nuls, et dans le 2 me genre, H peut l'être. 



ASYMPTOTES CURVILIGNES. 



Nature des branches illimitées. 



24. On a vu que les cordes de toute direction asymplotique simple ont 

 pour bissectrice une hyperbole dont deux branches convergent avec deux 

 branches de la ligne du 3 me ordre, attendu (pie ces quatre branches ont la 

 même droite pour asymptote commune ; pour ce motif, on dit que cette 

 hyperbole est une asymptote curviligne de la courbe du 3 me ordre. Mais 

 cette hyperbole n'en est pas la seule asymptote curviligne : toutes les hyper- 

 boles qui ont pour une de leurs asymptotes celle de la direction simple , 

 sont dans le même cas. Les deux branches illimitées de celte direction ad- 

 mettent donc une infinité d'asymptotes curvilignes, et comme toutes sont 

 des hyperboles, on en a conclu que la nature de ces branches est hyper- 

 bolique. 



En résolvant, par rapport à x, l'équation (II), appropriée à la 5 rae classe, 

 on trouve que les cordes de la direction double ont pour bissectrice une 



