LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 17 



parabole qui converge avec les deux branches illimitées que la courbe du 

 3 me ordre possède dans celte direction , et qui , par conséquent , en est une 

 asymptote curviligne, comme le sont toutes les paraboles convergentes avec 

 la parabole précitée; d'où Ton a conclu que les deux branches illimitées de 

 la direction asymptotique double sont de nature parabolique. Cette nature 

 appartient en général aux branches des directions d'un degré pair de mul- 

 tiplicité, comme la nature hyperbolique appartient, en général, aux bran- 

 ches des directions asymptoliques simples. Dans les directions d'un degré 

 impair de multiplicité, la nature parabolique domine toujours, et très-sou- 

 vent s'y rencontre seule; la nature hyperbolique peut cependant aussi s'y ren- 

 contrer avec la nature parabolique, mais elle ne peut jamais y exister seule. 

 Les lignes d'un ordre quelconque fournissent des exemples de branches 

 illimitées de toutes les natures qui se rencontrent dans les ordres inférieurs, 

 mais elles possèdent aussi des branches de natures spéciales à cet ordre 

 qui ne se rencontrent dans aucun ordre inférieur. Ces natures ont été con- 

 sidérées soit comme hyperboliques, soit comme paraboliques, selon qu'on 

 leur a trouvé de l'analogie soit avec la nature hyperbolique, soit avec la 

 nature parabolique du 2 me degré. Il en résulte que, si l'on ne veut admettre 

 (pie deux natures générales, il existe cependant pour chacune d'elles cer- 

 taines spécialités dans chaque ordre. Il ne suffît donc pas de dire que la 

 nature d'une branche est hyperbolique ou parabolique, il faut y ajouter 

 qu'elle est hyperbolique ou parabolique de tel ou de tel ordre. 



C'est Euler qui, le premier, a conçu l'idée de distinguer la nature des 

 branches infinies d'après celles des asymptotes qui leur sont propres : il a 

 pris ces circonstances pour base d'une méthode de division en familles, qu'il 

 nomme espèces et qui, d'après notre méthode, forment le 2 me degré de di- 

 vision ou les genres. En opérant de cette manière, Euler a trouvé pour le 

 3 me ordre un nombre d'espèces égal à celui de nos genres ; on ne peut ce- 

 pendant pas conclure de là que les deux méthodes sont identiques ou qu'elles 

 conduisent aux mêmes résultats : les principes qui servent de hase à cha- 

 cune d'elles diffèrent essentiellement, et si, dans le 3 me ordre, elles don- 

 nent le même nombre pour l'un des degrés de division , il n'en est cependant 

 pas de même pour les ordres supérieurs au troisième. 



Tome XXX. ° 



