LES LIGNES DU TROISIÈME ORDRE. 1 1 



pèces différentes que les eas d'un même genre qui diffèrent entre eux, soil 

 par le nombre des parties dont les lignes se composent, soit par leur posi- 

 tion relative entre elles et par rapport à l'asymptote, soit par leur nature. 

 Toute hypothèse qu'on pourrait faire sur les racines de l'équation (F), et qui 

 n'entraînerait pas l'une ou l'autre des conséquences géométriques précitées, 

 ne doit pas être considérée comme la condition analytique d'une espèce; 

 elle ne peut être admise que comme la condition analytique d'une sous- 

 espèce ou d'une variété. 



Avant de faire l'application de ces principes à la détermination des espè- 

 ces, nous rechercherons quelles sont les simplifications dont l'équation com- 

 plète (À) est susceptible, soit pour rester générale, soit pour représenter 

 certaines classes ou certains genres. 



SIMPLIFICATION DE l/ÉQUATION COMPLÈTE. 



Concluions analytiques des classes et des genres. 



48. On sait déjà que l'équation (A) reste générale, lorsqu'elle est privée 

 du terme cube de l'une des variables. Supposons que ce soit le terme en 

 y 3 qui manque. On a alors A =o, et par suite, l'équation (C) se réduit à 

 B^ 2 -l. C.2+ D=o (C). Celte équation donne les deux directions asymptoli- 

 ques autres que celle attribuée à l'axe des ordonnées. Ses deux racines sont 

 imaginaires, réelles et inégales, ou réelles et égales, selon que C 2 — 4BD go. 

 Dans chacun de ces trois cas, les directions qui sont réelles diffèrent de celle 

 de l'axe des ordonnées, à moins que B et C ne soient nuls à la fois; elles sont 

 alors égales entre elles et à la direction de l'axe des ordonnées, laquelle, 

 par conséquent, est triple. 



Si l'on suppose B isolément nul , la direction de l'axe des ordonnées est 

 double ; il en est de même si B et D sont nuls en même temps. En supposant 

 1) nul isolément, l'une des directions données par l'équation (C) est nulle, et 

 l'autre est égale à --• Les trois directions sont donc réelles et différentes. 

 Les hypothèses de B et de D nuls, soit isolément, soit simultanément, ne 

 peuvent donc convenir à chacune des quatre classes ; mais si l'on suppose 



