10 LES LIGNES DU TROISIÈME ORDRE. 



comprennent entre elles ou une partie de la courbe, ou un espace dans le- 

 quel la courbe n'existe pas. C'est pourquoi nous donnerons à ces tangentes 

 le nom de tangentes -limites; elles servent à déterminer le nombre el la 

 position des parties distinctes dont la courbe se compose. 



Cliaque valeur de x qui annule le polynôme sous-radical est une racine 

 réelle de l'équation (Gzr+ Yx + ïïf — i (Ba?+ E) {Dx 3 -\- Gx 2 + Kx + L) 

 = o (F). Chacune de ces racines donne donc une tangente-limite; par consé- 

 quent, en prenant la discussion de cette équation appropriée à la classe et au 

 genre pour base de la sous-division en espèces, ce système a pour consé- 

 quence géométrique la considération du nombre et de la position des tan- 

 gentes-limites et, par suite, celle du nombre et de la position des parties 

 distinctes de la courbe. 



16. Les racines réelles différentes de l'équation (F) donnent des tangentes- 

 limites distinctes, et l'égalité de deux ou de plusieurs racines indique la 

 réunion de deux ou de plusieurs tangentes-limites. La réunion de deux tan- 

 gentes-limites réduit à une droite l'espace qui séparait auparavant deux par- 

 ties de la courbe, et, par suite, les réunit sur cette droite; elle peut aussi 

 avoir pour conséquence la simplification de la forme d'une de ces parties; 

 ces deux phénomènes ont lieu à la fois, en cas de réunion de trois tangentes- 

 limites, ou, ce qui revient au même, en cas d'égalité de trois racines de 

 l'équation (F). 



Les racines de cette équation peuvent être ou toutes plus grandes ou toutes 

 plus petites que - - , ou bien les unes peuvent être plus grandes et les au- 

 tres plus petites que cette quantité. Dans le premier cas, les tangentes-limites 

 sont toutes d'un même côté de l'ordonnée-asymptote à laquelle elles sont 

 parallèles; dans le second cas, les unes sont d'un côté et les autres de l'autre 

 côté de celte asymptote. 



Si l'une des racines est égale à --, l'une des tangentes-limites coïncide 

 avec l'asymptote; celte dernière devient elle-même une limite, et, par con- 

 séquent, ne peut plus couper la courbe. Mais cette non-intersection con- 

 stitue des genres particuliers : nous n'aurons donc pas à nous occuper de ce 

 cas , lors de la recherche des différentes espèces de chaque genre. 



17. D'après ce qui précède, on ne doit admettre comme formant des es- 



