LES LIGNES DU TROISIÈME ORDRE. 9 



et leur degré de multiplicité, cl par suite, si cette discussion sert de base à 

 la sous-division des genres en espèces, les caractères géométriques qui dis- 

 tinguent ces dernières doivent consister dans des affections de la courbe dans 

 l'espace limité. 



14.. Puisque toute ligne du 3 ,ne ordre possède au moins une direction 

 asymptotique , on peut toujours donner une pareille direction à l'un des axes 

 des coordonnées. Dans ce cas, Tune des racines de l'équation (C) doit être ou 

 infinie ou nulle : il faut donc que l'un des termes extrêmes de cette équation 

 ait un coefficient nul et, par conséquent, que l'équation de la courbe soit dé- 

 pourvue du terme cube de l'une des deux variables. Cette équation peut donc 

 toujours être privée de l'un de ces termes sans cesser d'être générale, et alors 

 elle peut, par rapport à la variable dont le terme cube manque, être résolue 

 comme une équation du 2 me degré. En supposant que l'axe des ordonnées ait 

 une direction asymptotique, l'équation de la courbe sera privée du terme 

 en }f: elle sera donc de la forme Kxy* + Cafy + Dx 5 + Ef + Vxy -f 

 Gar-f- Hy + Kx + L = o (À'). En la résolvant par rapport à y, on obtient : 



Cx 2 + F x -4- II « /( Cx* + F x + H) 2 — 4(lix-+-E) ( Dx 3 -4- Gx* + Kx -4- L ) 

 V == 2(Bx + F) ± V " 4(Bxh-E)s 



15. La valeur de y qui précède n'est réelle que pour autant que l'expres- 

 sion sous-radicale ne soit pas négative. Si l'on fait croître x, depuis l'infini 

 négatif jusqu'à l'infini positif, la partie radicale peut devenir nulle un certain 

 nombre de fois. Chaque fois que cela arrive, les deux valeurs correspon- 

 dantes de y sont égales; par suite, la droite menée, parallèlement à l'axe des 

 ordonnées, par le point correspondant à cette valeur de x , est une tangente 

 à la courbe, et ne peut la rencontrer à distance finie qu'au point de contact, 

 à cause de sa direction asymptotique ; comme les valeurs de x qui précèdent 

 et suivent celles qui annulent le radical donnent au polynôme sous-radical 

 des valeurs de signes contraires, il en résulte que la courbe n'existe que d'un 

 côté de la tangente, qu'elle atteint sans la dépasser. Ce polynôme change de 

 signe en passant par zéro : toutes les valeurs de x comprises entre deux va- 

 leurs consécutives dont chacune annule le radical, doivent donc fournir des 

 résultats de même signe, et, par conséquent, deux tangentes consécutives 

 Tome XXX. 2 



