8 LES LIGNES DU TROISIEME ORDRE. 



l'équation (C), ne satisfait pas en même temps à l'équation («), l'équation (B) 

 reste du 2 rae degré en x, et, par suite, toutes les droites de la direction asym- 

 ptotique triple rencontrent la courbe à distance finie en deux points réels 

 ou imaginaires, et il n'existe parmi elles aucune asymptote à distance finie. 

 Si la valeur précitée de z satisfait aux conditions (C) et («), l'équation (B) est 

 réduite au 1 er degré en x, et comme le coefficient de cette variable est une 

 fonction du 1 er degré en q, et, par conséquent, ne peut être annulé que par 

 une seule valeur de cette arbitraire, toutes les droites de la direction asym- 

 ptotique coupent la courbe en un point et comprennent parmi elles une 

 seule asymptote qui ne rencontre pas la courbe à distance finie. Cette asym- 

 ptote n'existe toutefois à distance finie qu'à condition que (2Es+ F) ne soit 

 pas nul, c'est-à-dire qu'à condition que la racine triple de (C) ne soit pas 

 racine double de (a). La direction asymptotique triple admet donc trois cas 

 différents, et comme dans la b me classe il n'y a qu'une seule direction asym- 

 ptotique, il s'ensuit que cette classe n'admet que trois genres. 



12. D'après ce qui précède, les quatre classes du 3 me ordre peuvent être 

 sous-divisées comme il suit : la l re classe en deux genres; la 2 me classe en 

 trois genres; la 3 me classe en huit genres, et la A me classe en trois genres. 

 Il y a, par conséquent, seize genres de lignes du 3 me ordre, distinguées par 

 le nombre de leurs asymptotes rectilignes et par le nombre des points d'in- 

 tersection de la courbe avec chacune de ses asymptotes. Les conditions ana- 

 Iytiques de ces genres consistent dans les relations qui doivent exister entre 

 lès coefficients de l'équation de la courbe , pour satisfaire aux hypothèses 

 constitutives de chacun d'eux, et ces relations sont données par l'annulation 

 successive des coefficients de ar et de x dans la résultante (B) , celui de 

 x 7 " élant nul. 



ESPÈCES. 



Tangentes-limites. 



13. Du moment que la classe et le genre sont déterminés, l'équation (B) 

 ne peut plus donner que des racines finies, imaginaires ou réelles. La dis- 

 cussion ultérieure de cette équation, appropriée à la classe et au genre, ne 

 peut donc servir qu'à faire connaître le nombre des racines réelles, leur signe 



